Procesos estocásticos correlacionados

Question

Digamos que tengo 2 procesos estocásticos: $$\begin{align} dS_1 &= \left( r - q_1 \right)S_1 dt + \sigma_1 S_1 dW_1 \\ dS_2 &= \left( r - q_2 \right)S_2 dt + \sigma_2 S_2 dW_2 \end{align}$$ La correlación entre estos 2 procesos es $\rho$ . Ahora defino 2 nuevos procesos como: $$\begin{align} x_1 = \sigma_1 \log S_2 + \sigma_2 \log S_1 \\ x_2 = \sigma_1 \log S_2 - \sigma_2 \log S_1 \end{align}$$

Según el libro de Hull, estos procesos $x_1, x_2$ no están correlacionados con la desviación estándar $\sigma_1 \sigma_2 \sqrt{2 \left( 1+\rho \right)}$ y $\sigma_1 \sigma_2 \sqrt{2 \left( 1-\rho \right)}$ respectivamente.

¿Cómo puedo mostrar este resultado?

Answer 1

Me da la impresión de que las expresiones de su pregunta no tienen en cuenta el término "tiempo". $t$ aunque esto no cambia mucho. Definir para $i,j\in\{1,2\}$ : $$\begin{align} s_i(t)&=\log S_i(t) \\ y_{i,j}(t)&=\sigma_is_j(t) \end{align}$$ Entonces: $$\begin{align} V(y_{i,j}(t))&=\sigma_i^2V(s_j(t)) \\ &=\sigma_i^2V(\sigma_jW_j(t)) \\ &=\sigma_i^2\sigma_j^2t \\ &=V(y_{j,i}(t)) \end{align}$$ Además: $$\begin{align} C(y_{1,2}(t),y_{2,1}(t))&=\sigma_1\sigma_2C(s_2(t),s_1(t)) \\ &=\sigma_1^2\sigma_2^2C(W_2(t),W_1(t)) \\ &=\sigma_1^2\sigma_2^2\rho t \end{align}$$ Por lo tanto: $$\begin{align} &V(x_1(t))=\sigma_1^2\sigma^2_2t+\sigma_2^2\sigma_1^2t+2\sigma^2_1\sigma^2_2\rho t=\sigma_1^2\sigma_2^22(1+\rho)t \\ &V(x_2(t))=\sigma_2^2\sigma^2_1t+\sigma_1^2\sigma_2^2t-2\sigma^2_1\sigma^2_2\rho t=\sigma_1^2\sigma_2^22(1-\rho)t \end{align}$$ Finalmente, por bi-linealidad y simetría de covarianza: $$\begin{align} C(x_1(t),x_2(t))&=C(y_{1,2}(t)+y_{2,1}(t),y_{1,2}(t)-y_{2,1}(t)) \\ &=V(y_{1,2}(t))-C(y_{1,2}(t),y_{2,1}(t))+C(y_{2,1}(t),y_{1,2}(t))-V(y_{2,1}(t)) \\ &=V(y_{1,2}(t))-V(y_{2,1}(t)) \\ &=0 \end{align}$$ $x_1$ y $x_2$ no están correlacionados $-$ Nótese que para las variables aleatorias normalmente distribuidas, la correlación nula también implica independencia.