¿No es inconsistente la aproximación de Black para las opciones americanas?

Question

He encontrado una fórmula sugerida por Fisher Black ( Realidad y fantasía en el uso de las opciones FAJ, julio-agosto de 1975, pág. 36) para aproximar el precio de una opción de compra americana sobre una acción que paga dividendos. Véase el artículo de Wikipedia La aproximación de Black para más detalles.

Considere una acción con precio actual $S_0$ que paga un dividendo $D$ en la fecha $t_D$ tanto el importe del dividendo como la fecha de pago se conocen en el momento $t=0$ . Considere también una opción de compra americana con strike $K$ y fecha de vencimiento $T$ podemos escribir su precio Black-Scholes $C_A$ como una función: $C_A = C_A(S_0,K,T)$ . Dejemos que $C_E$ sea el precio de una opción de compra europea; entonces la aproximación de Black $C_A^{FB}$ para $C_A$ es:

$C_A(S_0,K,T) \approx C_A^{FB}(S_0,K,T) = max[C_E(S_0-De^{-rT},K,T),C_E(S_0,K,t_D-1)]$

Entiendo la lógica financiera de esta aproximación; sin embargo, lo que me llama la atención es que no es coherente con la teoría de Black-Scholes. En efecto, debemos tener:

$C_E(S_0-De^{-rT},K,T)<C_E(S_0,K,T)$

$C_E(S_0,K,t_D-1)<C_E(S_0,K,T)$

Así:

$C_A^{FB}(S_0,K,T)<C_E(S_0,K,T)$

Por lo tanto, el precio aproximado de la call Black americana sería siempre inferior al de su homóloga europea, mientras que las opciones americanas tienen al menos el mismo valor que sus homólogas europeas.

¿Hay algo malo en mi razonamiento? ¿Alguien entiende la lógica de esta aproximación, dada esta característica incoherente?

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[EDITAR]

Los dividendos deben descontarse utilizando el factor $e^{-rt_D}$ no $e^{-rT}$ .

Answer 1

Hay una falacia lógica en tu argumento.

El precio de una opción de compra europea que vence un día antes de un pago de dividendos puede ser mayor que el de una opción de compra que vence después.

En otras palabras, afirmar que

$$ C_E (S_0,K,t_D-1\text {day}; D, t_D) < C_E (S_0,K,T; D, t_D) $$

no es necesariamente cierto.

Prueba la desigualdad anterior con un dividendo enorme (por ejemplo $D = 90\%$ del precio actual al contado $S_0$ ) pagado en $t_D$ con $T = t_D + 1\text {day} $ para convencerte a ti mismo.

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[Editar]

Dejemos que $BS(S_0,K,T)$ denotan la fórmula estándar de Black-Scholes.

Si el valor de una call americana con un dividendo discreto viene dado por la aproximación de Black a la que te refieres: $$C_A^{FB}(S_0,K,T;D,t_D) = \max(BS(S_0-De^{-rt_D},K,T), BS(S_0,K,t_D-1/252))$$ entonces hay que compararlo con el valor de la llamada europea con 1 dividendo discreto que suele venir dado por: $$C_E(S_0,K,T;D,t_D) = BS(S_0-De^{-rt_D}, K, T)$$ (se supone que el modelo de custodia) y no simplemente $C_E(S_0,K,T)$ .

Su problema es, pues, doble:

1. debe utilizar $De^{-r t_D}$ y no $De^{-rT}$ para el valor actual de la distribución del capital
2. siempre estás usando $C_E(S_0,K,T)$ como referencia (no se contabilizan los dividendos), mientras que en realidad debería utilizar $C_E(S_0,K,T;D,t_D)$

Utilizando las anotaciones anteriores, está claro que $C_A^{FB}(S_0,K,T;D,t_D)$ siempre será mayor que $C_E(S_0,K,T;D,t_D)$ porque

\begin{align} C_A^{FB}(S_0,K,T;D,t_D) &= \max( C_E(S_0,K,T;D,t_D), BS(S_0,K,t_D-1/252) ) \\ &\geq C_E(S_0,K,T;D, t_D) \end{align}