Valoración de opciones americanas - Algoritmo de inducción

Question

El precio de una opción de venta americana viene dado por

$$V_k = \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_K} E\{e^{-\int_{t_k}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}_{t_k}\}$$

Encontré en un libro lo siguiente: $$\begin{aligned} V_{k-1} & = \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k-1}} E\{e^{-\int_{t_{k-1}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\} \\ & =\max\{(K-S_{t_{k-1}})^+, \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k}} E\big[D(t_{k-1},t_k)\times e^{-\int_{t_{k}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\big]\} \\ & = \max\{(K-S_{t_{k-1}})^+, E\big[D(t_{k-1},t_k)V_k|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\big] \} \end{aligned}$$

y no entiendo la última igualdad. ¿Alguien puede explicármelo?

Answer 1

Por la propiedad de la torre de la expectativa condicional primero y la definición de la americana puesta después (primera ecuación de la pregunta), obtenemos

\begin{align} \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k}} &E\big[D(t_{k-1},t_k)\times e^{-\int_{t_{k}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\big] \\ &= \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k}} E\left[E\big[D(t_{k-1},t_k) e^{-\int_{t_{k}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}_{t_{k}}\big]|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\right] \\ &=E\left[D(t_{k-1},t_k) V_k | \mathcal{F}_{t_{k-1}}\right]. \end{align} Tenga en cuenta que el término $D(t_{k-1},t_k)$ no depende de $\tau$ para que pueda salir del supremacía. También hay que tener en cuenta que el $\sigma$ -en su comentario anterior se intercambian.

Answer 2

Si me centro en el último término de tu última fórmula, lo que tienes es

$$ V_{k-1} = \max\{(K-S_{t_{k-1}})^+, D(t_{k-1},t_k) E\big[V_k|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\big] \}.$$

La idea detrás de esa igualdad es que el valor de una opción americana en el momento $t_{k-1}$ debe ser el más conveniente (por lo tanto el máximo de) entre

• ejercer la opción en ese momento, es decir $$(K-S_{t_{k-1}})^+$$
• el valor de continuación $$E\big[D(t_{k-1},t_k)V_k|\mathcal{F}_{t_{k-1}}\big],$$ que puedes entender ahí como el valor de la expectativa descontada, donde el descuento va desde el tiempo $t_k$ hasta $t_{k-1}$ .