Preferencias homotéticas y funciones de utilidad

Question

Sé que si tienes preferencias homotéticas y una función de utilidad que la representa, entonces esta función de utilidad debe presentar una Tasa Marginal de Sustitución (TMS) constante. Mi pregunta es si la dirección opuesta de la implicación también es cierta, para ser muy específico, ¿es verdad que una función de utilidad que presente una TMS constante siempre representa una preferencia homotética?

Answer 1

Como se señala en los comentarios, no es cierto que las preferencias homotéticas deben tener tasas marginales de sustitución constantes.

Para ver esto, recordemos que las preferencias dadas por la función de utilidad

$$ u(x,y) = x^\alpha y^{1-\alpha} $$

son homotéticas. (Más generalmente, las preferencias Cobb-Douglas son homotéticas). Sin embargo, la tasa marginal de sustitución es

$$ \text{MRS}(x,y) = \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{y}{x}, $$

que no es constante. Sin embargo, la MRS es homogénea de grado cero, ya que

$$ \text{MRS}(\lambda x, \lambda y) = \text{MRS}(x,y). $$

La homogeneidad de grado cero de la MRS es una propiedad general de las preferencias homotéticas. Esto se desprende del hecho de que las preferencias homotéticas (continuas) tienen una representación de utilidad que es homogénea de grado uno.

Por el contrario, cuando la MRS es homogénea de grado cero, las preferencias son homotéticas. Por lo tanto, las preferencias que muestran una MRS constante también son homotéticas. La prueba es un poco complicada. Para esto, te remito al lema $1$ de "Dualidad y la Estructura de las Funciones de Utilidad" de Lau (1970). (Ten en cuenta que Lau establece una definición diferente de homoteticidad a la tuya. Sin embargo, la definición de Lau y la tuya son equivalentes cuando las preferencias son continuas, lo cual deben ser para que la MRS esté bien definida.)