Aunque tal vez esto podría haber sido publicado en la validación cruzada, en realidad tengo una aplicación financiera en mente.
El problema:
Hay un error muy elemental en alguna parte, pero no lo veo:
Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con $X > 0$ casi seguro. Dejemos que $a$ sea un número real no negativo. Denotemos por $p(x)$ la densidad de probabilidad de $X$ . Entonces, $$ E [\sqrt{a + X} \;] = \int_0^\infty \sqrt{a+x}\; p(x) dx $$ y $$ \frac{\partial}{\partial a} E [\sqrt{a+X}\; ] = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{a+x}}\; p(x) dx > 0 $$
Por otro lado, también podemos considerar la densidad de probabilidad $q(\sqrt{a+x})$ de la variable aleatoria $\sqrt{a+X}$ directamente, y como $\sqrt{a+X} > \sqrt{a}$ casi seguro, $$ E [\sqrt{a + X} \;] = \int_\sqrt{a}^\infty \sqrt{a+x}\; q(\sqrt{a+x}) d\sqrt{a+x} $$ Ahora, $$ d\sqrt{a+x} = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{a+x}} $$ y por lo tanto $$ E [\sqrt{a + X} \;] = \frac{1}{2} \int_0^\infty q(\sqrt{a+x}) dx $$ Diferencie la expresión anteriort con $a$ : \begin{align} \frac{\partial}{\partial a} E [\sqrt{a + X} \;] &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{2\sqrt{a+x}} \frac{\partial q(\sqrt{a+x})}{\partial \sqrt{a+x}} dx\\ &= \frac{1}{2} \int_\sqrt{a}^\infty \frac{\partial q(\sqrt{a+x})}{\partial \sqrt{a+x}} d\sqrt{a+x} \\ &= - \frac{1}{2} q(\sqrt{a}) \end{align}
Ya que 1. el signo es incorrecto, y 2. $q(\sqrt{a}) = 0$ Esto está (dos veces) en contradicción con lo que se derivó antes, a saber, $$ \frac{\partial}{\partial a} E [\sqrt{a+X}\; ] = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{a+x}}\; p(x) dx > 0 $$
Entonces, ¿en qué me equivoqué?
Gracias.
