¿Prueba de que para aumentar AC MC(Q)>AC(Q) en cualquier Q>0?

Question

Conozco la prueba del "sentido común", pero ¿cómo podemos probarla algebraicamente?

Answer 1

Deje que $C(y)$ denote la función de costo y $y$ la cantidad.

La función de coste medio es $AC=C/y$. Esto está aumentando si su derivada es positiva. Que $C'$ denote la derivada de $C$. La función de coste marginal es $MC=C'$. Tenemos:

$\frac{\partial AC}{\partial y}= \frac{C'y - C}{y^2}>0$ mediante la regla del cociente. Como $y^2>0$, la condición se convierte en:

$C'y - C>0$.

Reorganización de los rendimientos:

$C' > C/y$

Por lo tanto: $MC>AC$.

Answer 2

Podemos calcular el costo total como TC(Q)= QAC(Q) ahora solo tomamos la derivada en ambos lados w.r.t Q por lo que obtenemos MC(Q)= AC(Q)+ Q derivada del costo promedio w.r.t Q. Dado que el costo promedio es una función creciente, la derivada debe ser no negativa, por lo que el costo marginal siempre es mayor que el costo promedio.