¿Cómo detectar si se cumple la secuencia de Ergodicidad, Estacionariedad y Martingale. dif.

Question

No estoy seguro, pero creo haber leído en alguna parte que como el modelo de Regresión Lineal Clásica supone tener una muestra aleatoria, cuando los investigadores piensan que pueden no estar en presencia de una muestra con esa propiedad, intentan utilizar alguna técnica de aleatorización para asegurarse de que se puede aplicar la teoría habitual.

En el capítulo 2 de Econometría de Hayashi, desarrolla el MCO y estudia sus propiedades en muestras grandes en una generalización de la muestra iid. Supone que la muestra es ergódica, y estacionaria, y que los regresores multiplicados por los términos de error (los mismos que definen las condiciones de ortogonalidad) también siguen una secuencia de diferencias de martingala.

Mi pregunta es, dada una muestra, ¿hay alguna forma de saber si satisface la ergodicidad, la estacionariedad y la seq. martingala? Además, incluso si la muestra no la satisface, ¿hay alguna forma de asegurarse de que somos capaces de obtener una muestra así, cuando no es posible aplicar técnicas de aleatorización?

Se agradecería cualquier ayuda.

P.D: Esta pregunta también se publica en CrossValidated, pero con una intención diferente. Al publicarlo aquí, busco más una perspectiva de econometristas aplicados, no tanto una explicación matemática formal de los posibles métodos existentes. Pero, por supuesto, si estáis dispuestos a formalizar y profundizar también os lo agradecería mucho.

Answer 1

La ergodicidad y la estacionariedad estricta son esencialmente los supuestos más débiles para los que se tiene una LLN, es decir, se puede hacer una estimación de grandes muestras. Dada la forma tan liberal en que los econometristas aplicados utilizan las leyes de los grandes números, casi siempre se asume la ergodicidad y la estacionariedad estricta. Si esto se pone en duda, simplemente no se puede hacer una estimación consistente.

Del mismo modo, si uno quiere tener un CLT, es decir, hacer inferencia de muestras grandes, el MDS es un supuesto general débil. (Existen otros CLT, pero más técnicos. El MDS CLT y el Lindenberg CLT son las dos generalizaciones inmediatas del CLT clásico).

La hipótesis del MDS se puede comprobar. Un MDS no es más que una martingala en tiempo discreto con media cero. En particular, sus incrementos no están correlacionados. (El supuesto de martingala es una condición intermedia entre la no correlación serial y la independencia). Así que un rechazo por una prueba de correlación serial también rechazaría el supuesto MDS.

Answer 2

Tengo que discrepar en algunos puntos de la respuesta de @Michale.

Para que se cumpla la Ley Débil de los Grandes Números, la estacionariedad, ya sea estricta o "débil" (llamada alternativamente "de segundo orden" o "estacionariedad de covarianza"), no es una condición necesaria.

Existen versiones simples de LLN en las que cada variable aleatoria de la secuencia examinada puede tener una media y/o una varianza diferentes. Esto descarta la estacionariedad, pero el límite de probabilidad puede existir, sujeto a una condición sobre la varianza ("condición de Markov").

Por supuesto, el límite de probabilidad es una media de los diferentes valores esperados, puede no tener una interpretación útil -pero esto no es un problema "técnico" en cuanto a la validez de la LLN, sino si podemos interpretar, de forma útil, el promedio sobre una secuencia de variables aleatorias que tienen cada una diferentes momentos.

Como compromiso, asumimos que la media es la misma, pero la varianza puede diferir. Esto impone sólo la "estacionariedad de la media", pero no la estacionariedad de la covarianza, y ciertamente no la estacionariedad estricta (la estacionariedad estricta requiere que la distribución conjunta de cualquier subsecuencia sea idéntica). Una vez más, hacemos esta suposición no para que la LLN se mantenga, sino para poder interpretar de forma útil los resultados de la LLN: después de todo, para agrupar y examinar los datos juntos, ellos debe tienen algo en común, si no, ¿qué sentido tiene?

Pero la ergodicidad es necesaria para que los promedios de las muestras converjan a la cantidad teórica, en eso consiste la Ley de Kinchine.