Digamos que quiero escribir opciones de compra en una acción, sin opciones escritas ya en ella. Conozco algún activo que está altamente correlacionado con él. ¿Cómo puedo proceder para hacer uso de la correlación entre este activo y el primero, para recrear alguna superficie de volatilidad implícita en esta opción desconocida?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este es un problema al que suelen enfrentarse los bancos de inversión y las empresas de compra (como los fondos de cobertura) que negocian con muchos derivados.
No hay mucho más que hacer que emplear algunas reglas generales, y esas reglas no han cambiado mucho a lo largo de las décadas. En este caso, esos trucos se parecen a lo siguiente:
En primer lugar, vamos a suponer que tienes tu stock $S$ sin precios de opción observables en el mercado. Además, ha encontrado el activo $A$ que es "más similar" a $S$ . (Por supuesto, las reglas generales pueden generalizarse a conjuntos de activos similares $\{A_1,\dots\}$ ).
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Decida la relación lineal que quiere asumir entre ambos, por ejemplo $$ \sigma_S = s(\sigma_A) = c + b \sigma_A $$ donde normalmente se fuerza a $b==0$ o $c==0$ .
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Si al menos tiene un historial de precios para $S$ , a continuación, obtener una volatilidad histórica $h_S$ así como su análogo $h_A$ para $A$ . Normalmente se hace esto una vez para 5x el tenor de las opciones que en última instancia desea precio. Encuentre $b$ o $c$ .
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Si no tiene un historial de precios para $S$ Entonces, sólo hay que suponer algo razonable para $b$ o $c$ .
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Mapa de volatilidad at-the-money $\sigma^{(\mathrm{ATM})}$ , obteniendo $\sigma^{(\mathrm{ATM})}_S$ de $\sigma^{(\mathrm{ATM})}_A$ como $$ \sigma^{(\mathrm{ATM})}_S = c + b \sigma^{(\mathrm{ATM})}_A $$
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Normalizar el sesgo de la volatilidad implícita para $A$ . En primer lugar, en lugar de marcar las volatilidades en $(K, T)$ , espacio, márcalos en términos de dinero $(M, T)$ donde $F$ es el precio a plazo y el dinero es $$ M=\frac{\log(K/F)}{\sigma^{(\mathrm{ATM})}\sqrt{T}} $$
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Ahora, para cualquier huelga $K_S$ en un $S$ -tenemos la opción $S$ Volatilidad de los cajeros automáticos $\sigma^{(\mathrm{ATM})}_S$ para que podamos obtener su dinero $m=m(K)$ .
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Toma ese dinero, y encuentra el $A$ -Volatilidad de la opción para el mismo dinero (normalmente por interpolación) $\sigma_A(m)$ .
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Establecer el $S$ -Volatilidad de las opciones para ser $$ \sigma_S(K) = s(\sigma_A(m)) $$
Se puede repetir esto para todas las huelgas y tenores, obteniendo una estimación decente de una superficie de volatilidad completa para $S$ .
Si está cotizando opciones, ponga un buen diferencial en sus volatilidades derivadas $\sigma_S$ antes de dar cualquier comilla a la contraparte.
Si luego quieres obtener algún coeficiente de correlación $\rho$ entre $S$ y $A$ y luego el precio $S$ opciones descomponiendo $S$ en $A+G$ , donde $G$ es idiosincrásico, puede hacerlo, pero necesitará tener la superficie de volatilidad para $S$ primero de todos modos.
steven Teal
Puntos
81
EDITAR:
Disculpas, una edición más, pero una importante:
Como amablemente me señaló un lector interesado hace poco, hay un problema potencial con el modelo simple que propuse. En concreto, tal y como está planteado, el modelo implica que el activo ilíquido $Y_t$ no es una martingala. Pero no todo está perdido; el modelo podría seguir utilizándose si el activo ilíquido no es negociable (en cuyo caso no tiene por qué ser una martingala), por ejemplo el índice VIX.
Respuesta original:
Llevo un tiempo pensando en esta cuestión. Además de la respuesta de @Brian B, dando aquí otra ruta para construir el sesgo para el activo $Y$ dado el sesgo de otro activo $X$ , donde $X_t$ es un positivo proceso de precios.
Primero expondré los supuestos:
- $d\ln (Y_t/Y_0) = \beta d\ln (X_t/X_0) + d\ln (Z_t/Z_0)$ y $d \ln X_t\, d\ln Z_t = 0$
- $\beta$ es constante (tal vez pueda extenderse a que sea determinista) y puede considerarse como el coeficiente de regresión de los logreturns
- $Z_t$ también es un positivo proceso que impulsa el término de error $d\ln Z_t$ de la regresión y tiene un conocido distribución $q(z)$
De las hipótesis (1) y (2) se deduce que $$ \frac{Y_T}{Y_t} = \left(\frac{X_T}{X_t}\right)^\beta \frac{Z_T}{Z_t} $$
El precio de una opción vainilla sobre $Y$ es entonces $$ E_t \left[ \left(Y_T - K\right)_+ \right] = E_t \left[ \left(\frac{Y_t}{X_t^\beta Z_t}X_T^\beta Z_T - K\right)_+ \right] $$ Ya que por la suposición (1) $Z$ es independiente de $X$ y por la hipótesis (3) la distribución de $Z$ es conocido, podemos escribir $$ E_t \left[ \left(\frac{Y_t}{X_t^\beta Z_t}X_T^\beta Z_T - K\right)_+ \right] = \int_0^\infty E_t \left[ \left(\frac{Y_t}{X_t^\beta Z_t}z X_T^\beta - K\right)_+ \right] q(z) dz $$ La expectativa en el integrando es un reclamo en $X^\beta_T$ y se puede sintetizar con opciones simples en $X_T$ utilizando la fórmula de Carr y Madan. Por lo tanto, dado que $q(z)$ se supone conocida (por ejemplo, la omnipresente distribución lognormal), se pueden calcular opciones sobre $Y_T$ e inferir las correspondientes volatilidades implícitas.
Observaciones:
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Normalmente $\beta$ y $q(z)$ se deducen de los datos históricos, ya que la regresión y el error se basan en datos históricos. Por lo tanto, a efectos de fijación de precios, hay que hacer una estimación de los valores neutrales al riesgo.
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Aunque $\beta$ se suponía constante, aún se podría utilizar en un marco de "beta incierta". Por ejemplo, supongamos que nos sentimos cómodos con $\beta \in [\beta_1,\beta_2]$ . A continuación, calcule la inclinación de $Y$ para ambos $\beta_1$ y $\beta_2$ y, a partir de ahí, decidir qué es lo que mejor se adapta a su apetito de riesgo.
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Aparte de las suposiciones, no se utiliza ninguna aproximación, es decir, el cálculo de la inclinación de $Y$ es "exacta" (sea lo que sea que eso signifique en la práctica).
Hasta donde yo sé, el enfoque descrito anteriormente no ha sido tratado en los documentos de fijación de precios de los derivados sobre este tema (pero me gustaría que me corrigieran aquí si alguien se ha topado con él), aunque en realidad es similar a cómo se haría para fijar el precio de una cesta geométrica. Así que tengo curiosidad por saber, si decides utilizarlo, qué resultados obtienes.
Espero que esto ayude.
