¿Es posible que el punto mínimo de una curva de costes a corto plazo no toque la curva de costes a largo plazo?

Question

En la respuesta a esta pregunta En la respuesta se dice que "el punto mínimo de una curva de costes a corto plazo estará por encima de la curva de costes a largo plazo". ¿Es esto cierto? Si es así, ¿cómo puede serlo?

Pensé que si, por ejemplo, la capacidad a corto plazo es demasiado pequeña o demasiado grande, simplemente se representaría como una curva de costes a corto plazo diferente y tangente con la curva de costes a largo plazo.

Answer 1

La idea de que la curva de costes medios a largo plazo (CPP) debe pasar por los puntos mínimos de las curvas de costes medios a corto plazo (CPC) es una falacia, pero parece muy plausible. Fue el origen de un famoso error del economista Jacob Viner, mencionado en este documento de Silberberg . En la falacia subyace quizás la suposición de que los puntos de tangencia con el LRAC deben ser los puntos mínimos de los SRAC. Estos puntos son coincidentes en el caso especial de un SRAC tangente al LRAC en el punto mínimo de este último . Pero, por lo general, son distintos, como en el ejemplo numérico siguiente.

Supongamos que una empresa tiene una función de producción Cobb-Douglas con rendimientos crecientes $y = x_1^{0.6}x_2^{0.6}$ . Los insumos se compran en mercados en los que la oferta no es perfectamente elástica, por lo que los costes son funciones crecientes de las cantidades:

$\quad c_1(x_1) = 20x_1 + x_1^2$

$\quad c_2(x_2) = 20x_2 + x_2^2$

La simetría entre las dos entradas con respecto a la tecnología y a los costes no es necesaria para obtener un ejemplo adecuado, pero es conveniente porque implica que cada punto del LRAC debe satisfacer $x_1=x_2$ (véase la prueba en el Apéndice). Esto simplifica la derivación de la ecuación del LRAC.

LRAC

Escribir $c(a,b)$ para la función de coste total con insumos $a, b$ y dado $x_1=x_2$ que tenemos:

$\quad c(x_1,x_2) = 40x_1 + 2x_1^2\qquad(1)$

$\quad y = x_1^{1.2}\qquad(2)$

Por lo tanto:

$\quad x_1 = y^{5/6}\qquad(3)$

$\quad c(x_1,x_2) = 40y^{5/6} + y^{5/3}\qquad(4)$

y así:

$\quad LRAC = \frac{40y^{5/6} + 2y^{5/3}}{y} = 40y^{-1/6}+2y^{2/3}\qquad(5)$

Para encontrar el punto mínimo:

$\quad \frac{dLRAC}{dy} = (-40/6)y^{-7/6} + (4/3)y^{-1/3} = 0\qquad(6)$

$\quad -40/6 + (4/3)y^{5/6} = 0\qquad(7)$

$\quad y^{5/6} = 5\qquad(8)$

$\quad y=6.90\qquad(9)$

Para confirmar que se trata de un mínimo:

$\quad \frac{d^2LRAC}{dy^2} = (280/36)y^{-13/6} + (-4/9)y^{-4/3}$ $\quad = (280/36)0.0152 – (4/9)0.0761 = 0.118 – 0.034 = 0.084 \boldsymbol{> 0}\qquad(10)$

Las entradas en este mínimo, utilizando (3), son:

$\quad x_1 = x_2 = 6.90^{5/6} = 5.00\qquad(11)$

SRAC

Supongamos ahora que $x_1$ es libremente variable, pero $x_2$ se fija en el corto plazo en un valor distinto de $5.00$ , digamos que $2$ . Entonces:

$\quad y = x_1^{0.6}(2^{0.6})\qquad(12)$

$\quad c(x_1,x_2) = 20x_1 + x_1^2 + 44\qquad(13)$

Por lo tanto:

$\quad x_1 = (2^{-0.6}y)^{5/3} = (1/2)y^{5/3}\qquad(14)$

$\quad c(x_1,x_2) = 10y^{5/3} + (1/4)y^{10/3} + 44\qquad(15)$

y así:

$\quad SRAC(x_2 = 2) = \frac{10y^{5/3} + (1/4)y^{10/3} + 44}{y} = 10y^{2/3} + (1/4)y^{7/3} + 44y^{-1}\qquad(16)$

La primera derivada es:

$\quad \frac{dSRAC}{dy} = (20/3)y^{-1/3} + (7/12)y^{4/3} – 44y^{-2}\qquad(17)$

Relación entre LRAC y SRAC

Las dos curvas se encuentran cuando $x_1=x_2=2$ que implica $y = 2^{1.2} = 2.2974$ ya que en ese punto, utilizando (5) y (16):

$\quad LRAC = 40(2.2974^{-1/6}) + 2(2.2974^{2/3}) = 34.822 + 3.482 = \boldsymbol{38.30}\qquad(18)$

$\quad SRAC = 10(2.2974^{2/3}) + (1/4)(2.2974^{7/3}) + 44(2.2974^{-1})$ $\quad = 17.411 + 1.741 + 19.152 = \boldsymbol{38.30}\qquad(19)$

Además son tangentes en ese punto ya que utilizando (6) y (17) las respectivas pendientes son:

$\quad \frac{dLRAC}{dy} = (-40/6)(2.2974^{-7/6}) + (4/3)(2.2974^{-1/3})$ $\quad = -2.526 + 1.010 = \boldsymbol{-1.52}\qquad(20)$

$\quad \frac{dSRAC}{dy} = (20/3)2.2974^{-1/3} + (7/12)2.2974^{4/3} + (-44)2.2974^{-2}$ $\quad = 5.052 + 1.768 – 8.336 = \boldsymbol{-1.52}\qquad(21)$

Sin embargo, este punto de tangencia es no el punto mínimo del SRAC. Usando (17) para encontrar el mínimo:

$\quad \frac{dSRAC}{dy} = (20/3)y^{-1/3} + (7/12)y^{4/3} – 44y^{-2} = 0\qquad(22)$

$\quad (20/3)y^{5/3} + (7/12)y^{10/3} – 44 = 0\qquad(23)$

Tratando esto como una ecuación cuadrática en $y^{5/3}$ o por ensayo y error, se puede encontrar que $y$ es aproximadamente $2.525$ . Para confirmar esto es un mínimo:

$\quad \frac{d^2SRAC}{dy^2} = (-20/9)2.525^{-4/3} + (28/36)2.525^{1/3} + (88)2.525^{-1} = -0.646 + 1.059 + 34.851 = 35.26 \boldsymbol{> 0}\qquad(24)$

En este punto mínimo:

$\quad SRAC = 10(2.525^{2/3}) + (1/4)2.525^{7/3} + 44(2.525^{-1})$ $\quad = 18.543 + 2.170 + 17.426 = \boldsymbol{38.14}\qquad(25)$

Esto es más bajo que el punto de tangencia con el LRAC ( $\boldsymbol{38.30}$ ), pero por encima del LRAC en $y = 2.525$ que utilizando (5) es:

$\quad LRAC = 40(2.525^{-1/6}) + 2(2.525^{2/3}) = 34.278 + 3.709 = \boldsymbol{37.99}\qquad(26)$

Anexo

Supongamos que $x_1\neq x_2$ y que $x* = \sqrt{x_1x_2}$ . Entonces:

$\quad y(x_1,x_2) = (x_1x_2)^{0.6} = (x*^2)^{0.6} = y(x*,x*)\qquad(27)$

$\quad c(x_1,x_2) = 20(x_1 + x_2) + x_1^2 + x_2^2$ $\quad = 20[(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2 + 2\sqrt{x_1x_2}] + (x_1 – x_2)^2 + 2x_1x_2$ $\quad \boldsymbol{>} 2[20\sqrt{x_1x_2}) + (\sqrt{x_1x_2})^2] = c(x*,x*)\qquad(28)$

Así, la combinación de entrada $(x*,x*)$ produce el mismo resultado a menor coste que $(x_1,x_2)$ por lo que este último no corresponde a un punto de la LRAC.

Answer 2

Adam Bailey tiene razón.

Consideremos la función de producción $f(x_1,x_2) = x_1 + x_2/2$ donde $(x_1,x_2)$ son entradas.

Si los costes de los insumos son $w_1=w_2=1$ y todos los insumos son elegidos libremente, la solución al problema de minimización de costos es \begin{align*} x_1 & = y \\ \\ x_2 & = 0. \end{align*} Sin embargo, a corto plazo, una o varias de las cantidades de entrada pueden ser fijas. Si $x_2 = \bar{x}_2 > 0$ En este caso, nunca es óptimo, el coste a corto plazo siempre es mayor que el coste a largo plazo. Las funciones de coste a largo y corto plazo en este caso serían \begin{align*} C(y) & = y \\ \\ C_s(y,\bar{x}_2) &= \bar{x}_2 + \max(y - \bar{x}_2/2;0) \geq y + \bar{x}_2/2 > C(y). \end{align*}

El otro punto de Adam (mencionado en su comentario bajo esta pregunta) es que $$ C(y) = \min_{\bar{x}_2} C_s(y,\bar{x}_2). $$

Answer 3

Mirando el contexto del enlace publicado, parece que tienes la idea correcta y el que responde puede haberse expresado mal. El mínimo de la curva de costes de la RS debería ser en la curva de costes LR. Supongamos (por contradicción) que la curva de costes SR está por encima de la curva de costes LR en el punto $x$ en la curva de costes de LR. Este punto $x$ implica un conjunto de variables fijas (que es ajustable a largo plazo). Se podrían ajustar las variables fijas a este nivel y obtener otra curva de costes de RS más barata.