¿Cuál es la ganancia esperada para un postor en una subasta de segundo precio con N postores distribuidos uniformemente, cuando el subastador establece un precio de reserva?

Question

Me gustaría saber qué postor i en una subasta de segundo precio con $N=\{1,2,...,n\}$ licitadores, donde cada licitador $i\in N$ tiene valoraciones independientes y uniformemente distribuidas $v_i\sim U(0,1)$ y el subastador fija un precio de reserva, $r$ .
Supongo que cada licitador ya sabe $r$ como si conociera su propia valoración real, pero sólo conociera la distribución de las valoraciones de los demás licitadores, y asumiera que todos los demás licitadores ofertan sus verdaderas valoraciones $b_{-i}^*=v_{-i}$

Por lo tanto, el licitador i La función de recompensa de la empresa es: $u_i(b_i,b_{-i},r) = \left\{ \begin{array}{lr} v_i-\max\{b_{-i}\} & \text{if } b_i>\max\{b_{-i}\}>r \\ v_i-r & \text{if } b_i>r>\max\{b_{-i}\}\\ 0 & \text{if } b_i<r \vee b_i<\max\{b_{-i}\} \end{array} \right.$

No estoy seguro de cómo es exactamente la recompensa esperada, pero he supuesto que sería algo así: $ \mathbb{E}[u_i] = \mathbb{P}(b_i>\max\{b_{-i}\}>r)\cdot \mathbb{E}\left[ v_i-\max\{b_{-i}\} | b_i>\max\{b_{-i}\}>r \right] \\ +\mathbb{P}(b_i>r>\max\{b_{-i}\})\cdot \mathbb{E}\left[ v_i-r | b_i>r>\max\{b_{-i}\} \right]$
pero no sé a dónde ir desde aquí

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $n \geq 2$ . Observe que $$ \mathbb{E}[u_i] = \mathbb{E}[u_i|v_i > r]P(v_i > r) + \mathbb{E}[u_i|v_i \leq r]P(v_i \leq r) = \mathbb{E}[u_i|v_i > r]P(v_i > r)$$ desde $\mathbb{E}[u_i|v_i \leq r] = 0$ . Además, $P(v_i > r) = 1 - r$ si los valores son uniformes estándar. Por lo tanto, para calcular la retribución esperada $\mathbb{E}[u_i]$ sólo queda calcular $\mathbb{E}[u_i|v_i > r]$ .

Dejemos que $p$ denotan la oferta más alta presentada por sus oponentes. Podemos entonces descomponer $$\mathbb{E}[u_i|v_i > r] = \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p \leq r]P(p \leq r) + \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p > r]P(p > r)$$ Empezando por el primer término, $$ \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p \leq r] = \mathbb{E}[v_i - r|v_i > r] = \frac{1+r}{2} - r = \frac{1-r}{2}$$ Más obviamente, $P(p \leq r) = P(v_j \leq r)^{n-1} = r^{n-1}$ y así $P(p > r) = 1 - r^{n-1}$ . Utilizando la simetría de los licitadores y los resultados sobre estadísticas de pedidos se puede ver que

\begin{equation} \begin{split} \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p > r] &&= \mathbb{E}[u_i|\text{win}, v_i > r, p > r] P(\text{win}) \\ &&= \left(r + (1-r)\left(\frac{n}{n+1}\right) - r - (1-r)\left(\frac{n-1}{n+1}\right) \right)\frac{1}{n} \\ &&= \frac{1-r}{n(n+1)} \end{split} \end{equation} Si juntamos todo esto, tenemos $$ \mathbb{E}[u_i|v_i > r] = \frac{1-r}{2} \times r^{n-1} + \frac{1-r}{n(n+1)} \times (1 - r^{n-1}) $$ y así (multiplicando por $1 - r$ ) $$ \mathbb{E}[u_i] = \frac{(1-r)^2 r^{n-1}}{2} + \frac{(1-r)^2 (1 - r^{n-1})}{n(n+1)} $$ Obsérvese que, si $r = 1$ entonces $\mathbb{E}[u_i] = 0$ como era de esperar. Además, si $r = 0$ (sin precio de reserva), entonces se obtiene la expresión (¿esperamos que sea familiar?) $$ \mathbb{E}[u_i] = \frac{1}{n(n+1)} $$