Asintótica de la opción de compra como $S\to0$

Question

Dejemos que $C(S)$ denotan el valor (inicial) de una opción de compra con precio subyacente al contado $S$ . Asumo que el subyacente tiene trayectorias muestrales continuas (aunque no necesariamente un movimiento browniano geométrico).

Como $S\to\infty$ sabemos que $C=\mathcal{O}(S)$ (utilizando notación O grande ) porque la opción es esencialmente lineal en el subyacente ( $\Delta=1$ y $\Gamma=0$ para las opciones ITM profundas).

¿Sabemos a qué velocidad el precio de la opción converge a cero como $S\to0$ ? ¿Supongo que es más bien un decaimiento polinómico que exponencial? Pregunto cuál es la mejor función $g(S)$ en $C=\mathcal{O}(g(S))$ como $S\to0$ ?

Este es un ejemplo de los precios iniciales de las opciones de compra con $T=1$ y $K=8$ . El valor de la opción es (o será) lineal para grandes precios de las acciones, pero ¿cuál es el pedir para los precios de las acciones pequeñas?

Answer 1

Esta es una pregunta más matemática que cuantitativa. Bajo la dinámica de Black Scholes (asumiendo $r=0$ para simplificar), como todo el mundo sabe tenemos $$C=SN(d_1)-KN(d_2)$$ . En este caso, nos interesan los grandes negativos $d$ ya que $lnS$ es grande y negativo. Existe una serie asintótica para $N(x)$ cuyo primer término para x negativo grande es $$N(x)=-\phi(x)/x$$ , donde $\phi$ es la distribución normal. Introduciendo esto, obtenemos $$C=S(-\phi(d_1)/d_1) - K(-\phi(d_2)/d_2)$$ y utilizando la relación $d_2=d_1-\sigma\sqrt(T)$ se puede derivar que a primer orden $$C = S\sigma T^{1/2}\phi(d)/d^2$$ donde $d=\ln(S)/\sigma T^{1/2}$ . Esto es esencialmente su $g(S)$ . Se puede demostrar que va a cero más rápido que $S^n$ para cualquier $n$ .

Answer 2

Editar La pregunta original no especificaba la "independencia del modelo", por lo que la siguiente se centra en el marco de la BS. Además, me he centrado en velocidad de convergencia en lugar de orden de convergencia : Intentaré actualizar mi respuesta con algunas reflexiones sobre orden de convergencia más tarde.

No estoy seguro de que esto responda a tu pregunta, pero la velocidad a la que cambia el precio de la opción con respecto al subyacente es la delta, que es igual a $N(d_1)$ con $d_1$ :

$$d_1=\frac{ln\left(\frac{S}{K}\right)+rt+0.5\sigma^2t}{\sigma \sqrt{t}}$$

Como $S \to 0$ , $ln\left(\frac{S}{K}\right) \to (-\infty)$ y por lo tanto $d_1 \to (-\infty)$ y por lo tanto $N(d_1) \to 0$ (por lo que la velocidad a la que el precio de la opción llega a cero como $S$ va a cero: se va a cero asintóticamente)

Delta alcanza su valor máximo de 1 para las opciones ITM profundas, y luego la delta disminuye gradualmente hasta llegar a cero cuando la opción se convierte en OTM. La gamma (que puede considerarse como la velocidad a la que la propia delta cambia con respecto al subyacente) es más alta para las opciones ATM.

Así que la forma en que lo pienso es:

• El precio de la opción disminuye más rápidamente (con respecto al subyacente $S$ ) cuando delta es 1 (obviamente)

• A medida que el subyacente disminuye gradualmente, Delta comienza a disminuir desde 1 y la velocidad a la que disminuye se hace gradualmente más rápida a medida que el subyacente se acerca al strike (es decir, a medida que la opción se acerca a ATM desde arriba): por lo que en realidad significa que la velocidad a la que el precio de la opción disminuye, se hace más pequeña a un ritmo más rápido a medida que el subyacente disminuye

• Por debajo del strike, a medida que la opción se convierte en OTM, la gamma comienza a disminuir de nuevo, por lo que la tasa a la que disminuye delta comienza a disminuir (no obstante, el delta sigue disminuyendo a medida que el subyacente baja, por lo que de nuevo: la tasa a la que disminuye el valor de la opción, disminuye a su vez a medida que el valor del subyacente disminuye: aunque a un ritmo cada vez más lento ).

¿Podemos cuantificar matemáticamente el ritmo al que disminuye el valor de la opción? Sí, este valor es el delta (es decir $N(d1)$ ). ¿Podemos cuantificar la velocidad a la que disminuye el propio delta? Sí, el valor es la Gamma.

Aparte del gráfico de abajo, supongo que podríamos intentar cuantificar más la tasa de convergencia a cero en términos de qué tipo de función domina el "precio de la opción con respecto al strike", ¿es eso lo que tenías en mente? Gráficamente, podemos ver que es más lenta que la lineal hacia el final (algo obvio, porque se vuelve asintótica).

Answer 3

No estoy 100% seguro, por favor, compruébalo. Creo que tanto en el caso ITM como en el OTM (solicitado), no puede existir una respuesta sin modelo. En particular, la tasa a la que:

• ITM: $C(S_0) \rightarrow S_0$ como $S_0 \rightarrow \infty$ y
• OTM: $C(S_0) \rightarrow 0$ como $S_0 \rightarrow 0$

depende de la densidad de transición neutral al riesgo específica del modelo $p^Q(S_T, T | S_0, 0)$ de $S_0$ en el momento $0 $ a un valor $S_T$ en el momento T.

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Mi idea es la siguiente. Dejemos que $C_{K,T}(S_0)$ sea la inicial (es decir, en el momento $t=0$ ) precio de una opción de compra de strike $K$ y la madurez $T$ . Esto es, por evaluación neutral del riesgo (wlog, supongamos un tipo de interés corto constante $r$ para simplificar):

\begin{align} C_{K,T}(S_0) &= e^{-rT}\mathbb{E}^{Q}[(S_T-K)^+|\mathbb{F}_0] \\ &= \int_0^{\infty} (S_T-K)^+ p^Q(S_T, T | S_0, 0) dS_T \end{align}

donde (informalmente) el contenido de información de la filtración $\mathbb{F}_0$ es " $S(t=0)=S_0$ ".

La densidad de transición de riesgo neutro $p^Q(S_T, T | S_0, 0)$ es la solución de la ecuación de Kolmogorov-forward (también conocida como ecuación de Fokker-Plank). Dado que esta densidad depende del modelo (será lognormal en el caso del modelo Black-Scholes, gaussiana en el caso de una difusión gaussiana e incluso diferente en el caso de modelos SV como Heston), el precio $C_{K,T}(S_0)$ depende del modelo.

Por lo tanto, no hay ninguna razón para que los índices de convergencia ITM y OTM estén libres de modelos.

Answer 4

Paridad Put-Call:

$C = P + (S-K),$

tomando $r=0$ para simplificar, pero sin pérdida de generalidad.

Ahora,

$\lim_{S\rightarrow 0} \,P = K$ ,

por lo que

$\lim_{S\rightarrow 0}\, C = 0$

Otra forma de ver esto es observar que ambos $N(d_1)$ y $N(d_2)$ tienden a cero a medida que $S$ tiende a 0.