¿La utilidad Cobb-Douglas se maximiza gastando una "fracción fija de los ingresos en cada bien"?

Question

Consideremos una función de utilidad Cobb-Douglas que tiene la forma $$u(x) = \prod_{j=1}^n x_j^{a_j} $$ donde $x$ es un vector de asignación y $a_j$ son parámetros de utilidad con $\sum a_j = 1$ . Mi pregunta tiene que ver con el demanda de un comprador con una función de utilidad Cobb-Douglas y un presupuesto de precios fijos. Es decir, $$\arg \max_x \lbrace u(x) : \pi^T x \leq w \rbrace$$ donde $\pi$ es un vector de precios fijos y $w$ es el presupuesto.

Esto es fácil de resolver, pero me confunde la siguiente afirmación, que leí en un libro de texto de optimización [1]:

No es difícil demostrar que un comerciante con una función de utilidad Cobb-Douglas gasta una fracción fija de sus ingresos en cada bien.

Esto es claramente cierto cuando $a_j = 1/n, \forall j$ y los precios son los mismos.

Pero supongamos que $n = 2$ , $\pi = (1, 1)$ , $w = 1$ y $a = 0.8, 0.2$ . Entonces "gastar una fracción fija del presupuesto en cada bien" significaría gastar $w / n = 0.5$ en cada bien, o comprando $0.5$ unidades de cada bien, lo que implica $x^* = (0.5, 0.5)$ . Esto es claramente subóptimo, como muestra la siguiente tabla de valores:

 x_1  x_2  u(x)
 0.0  1.0  0.0
 0.1  0.9  0.155185
 0.2  0.8  0.263902
 0.3  0.7  0.355399
 0.4  0.6  0.433789
 0.5  0.5  0.5
 0.6  0.4  0.553265
 0.7  0.3  0.590885
 0.8  0.2  0.606287   (*)
 0.9  0.1  0.579955
 1.0  0.0  0.0

En cambio, el máximo está en $x = (0.8, 0.2)$ que yo describiría verbalmente como

Un comerciante con una función de utilidad Cobb-Douglas asigna cada bien en proporción a su coste unitario de los servicios públicos .

En este ejemplo, el recurso 1 produce $a_1 / \pi_1 = 0.8$ utilidades por dólar, el recurso 2 rinde $0.2$ utilidades por dólar, y la asignación óptima es un escalar veces $(0.8, 0.2)$ .

¿Es correcta mi interpretación? ¿Es correcta la interpretación del libro de texto citado anteriormente? Si ambas son correctas, ¿qué explica la discrepancia en el ejemplo anterior?

Tenga en cuenta que No estoy preguntando cómo calcular la demanda de un comerciante con una función de utilidad Cobb-Douglas. Pregunto por la afirmación concreta que el comerciante gasta una "fracción fija de sus ingresos" en cada producto.

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[1] Nisan, Noam, Tim Roughgarden, Éva Tardos y Vijay V. Vazirani, eds. 2007. Teoría algorítmica de los juegos. Cambridge University Press.

Answer 1

Una "fracción fija" no significa una "fracción igual", o al menos ese no es el significado que se pretende.

Se puede comprobar fácilmente que la solución de \begin{equation} \max_{x_1,x_2}\;x_1^{a_1}x_2^{a_2}\qquad\text{s.t.}\; \pi_1x_1+\pi_2x_2\le w \end{equation} es \begin{equation} x_1^*=\frac{a_1}{a_1+a_2}\frac{w}{\pi_1}\quad\text{and}\quad x_2^*=\frac{a_2}{a_1+a_2}\frac{w}{\pi_2}. \end{equation} Introduciendo los valores que has utilizado: $a_1=0.8,a_2=0.2,\pi_1=\pi_2=1$ La solución es coherente con su simulación numérica.

Generalizando a la $n$ -Caja de bienes (con $\sum_ia_i=1$ ), la demanda de $x_i$ es \begin{equation} x_i^*=\frac{a_i}{\pi_i}w, \end{equation} donde la fracción "fija" se refiere a $a_i/\pi_i$ .

Answer 2

La "fracción fija de sus ingresos" significa una parte fija del total gasto y no la parte de los bienes totales comprados. Esta es una propiedad de una función de utilidad Cobb-Douglas, pero no una propiedad de una función de utilidad CES general.

Esto se debe a que con una forma CD, la elasticidad de sustitución debe ser 1. Esto se puede encontrar fácilmente en un caso de dos factores, donde $$\frac{x_1^* \pi_1}{x_2^* \pi_2} = \frac{a_1}{a_2}$$ . En otras palabras, el efecto de sustitución compensa exactamente el efecto de los precios y los porcentajes de gasto de los factores están totalmente determinados por la tecnología.

Este no es el caso en una función CES general en la que la elasticidad de sustitución puede ser cualquier número arbitrario y el efecto de sustitución no compensará exactamente el efecto del precio si la elasticidad de sustitución no es 1.