Calibrar el modelo de un factor de Hull-white con swaption en la fórmula analítica

Question

He intentado calibrar el modelo de un factor de Hull-white con swaption, pero tengo problemas para obtener una solución de forma cerrada de swaption

A continuación, la parte del documento a la que he hecho referencia

https://people.kth.se/~aaurell/Enseñanza/SF2975_HT17/calibración-casco-blanco.pdf

El problema es la parte r*.

Para calcular el precio del swaption siguiendo las instrucciones del documento, tengo que resolver la ecuación (16) para obtener r*.

Pero parece que no hay una solución de forma cerrada para esta ecuación encontrando r*.

Sin embargo, si no existe una solución de forma cerrada para la fijación de precios del swaption, todo el proceso de calibración lleva demasiado tiempo. Creo que no es lo que pretendía el autor.

¿Existe alguna solución de forma cerrada para encontrar r* en esta ecuación?

Muchas gracias de antemano por ayudarme.

Answer 1

No existe una solución de forma cerrada, pero resolviendo para $r^\star$ tal que

$$f(r^\star) = \tilde{c}^{-1} $$

debería ser rápido y seguro con un solucionador estándar de una sola dimensión, bisección o Newton-Raphson, ya que

1. función $f$ es monótonamente decreciente ( $B_i$ y $\tilde{c}_i$ son positivos),

$$f(x) = \sum_{i=1}^n \tilde{c}_i {\rm e}^{A_i-B_ix}, $$

2. su derivado es analítico,

$$f'(x) = \sum_{i=1}^n -B_i\tilde{c}_i {\rm e}^{A_i-B_ix}, $$ y

3. conocemos la solución $r^\star$ pertenece al intervalo

$$ \left[ \frac{\ln (\tilde{c}A_d)}{B_u}, \frac{\ln (\tilde{c}A_u)}{B_d} \right],$$

donde

$$ \tilde{c} = \sum_{i=1}^n c_i, \: \: \tilde{c}_i = c_i/\tilde{c},$$

$$ A_u = \max_{i=1,...,n} {\rm e}^{A_i}, \: \: A_d = \min_{i=1,...,n} {\rm e}^{A_i}, $$

$$ B_u = \max_{i=1,...,n} {B_i}, \: \: B_d = \min_{i=1,...,n} {B_i}. $$

Answer 2

Dada la naturaleza no lineal del problema de optimización restringido, es decir $exp(A(T0,Ti)-B(T0,Ti)*r)$ tendrá que emplear solucionadores numéricos.

Los autores del documento utilizaron el Recocido Simulado (mostrado en el Apéndice B) para una convergencia rápida. Señalan que se puede tardar hasta 10 segundos en resolver un espacio de parámetros de 10 dimensiones.