¿Por qué cuando una variable $x$ es pequeña, $\log (1+ x) = x$?

Question

Veo una conversación aquí donde @dm63 menciona que

cuando la Edad es pequeña, log(1+Edad)=Edad

Me pregunto cómo puede ocurrir. Por ejemplo, al decir que la Edad es pequeña, elijo Edad =1 o 2

Edad =1 => log(1+1)=log(2)=0.3 # 1

Edad =2 => log(1+2)=log(3)=0.477 # 2

Puede que caiga en una falacia, ¿podrías ayudarme a aclararlo? Se agradece mucho.

Answer 1

Primero que nada debes tener una calculadora defectuosa o estar utilizando una base incorrecta. El logaritmo natural de 2 es aproximadamente 0.7, no 0.3.

Aquí "pequeño" significa cercano a cero. Si la Edad es 0, entonces $\ln(1+0)=0$. Si la Edad es 0.5 (un bebé de 6 meses), entonces $\ln (1+0.5)= 0.41$

Esto se debe a que para valores de $x$ cercanos a cero, $\ln (1+x) \approx x$. Pero esto te dará una buena aproximación solo cuando $x<1$. Para $x>1$, el error entre el valor verdadero y la aproximación aumenta rápidamente. Por ejemplo, $\ln (1+1) =0.7$, $\ln (1+2) =1.1$, en este punto el error ya es bastante grande.