Comprender las propiedades de los juegos de forma extensiva

Question

En Heller y otros En este caso, utilizan la definición formal de Osborne y Rubinstein para los juegos de forma extensiva con información pública. En algún momento se refieren a las siguientes dos propiedades

• $P$ es un mapeo que asigna a cada historia no terminal $h$ el conjunto de jugadores $P(h)\subseteq I$ que tienen que tomar una acción después de la historia $h$ . Si $P(h)= \emptyset$ , entonces hay un movimiento de oportunidad después de la historia $h$ .

$\textbf{Question 1:}$ ¿Qué significa esta frase? `` $P(h)= \emptyset$ , entonces hay un movimiento de oportunidad después de la historia $h$ "? ¿Es como si el juego se desarrollara sobre algún gráfico?

• $A$ es un mapeo que asigna a cada historia no terminal $h$ tal que $P(h)\neq $ y a cada jugador $i \in P(h)$ un conjunto finito $A_i (h)$ de acciones disponibles para el jugador $i$ después de esa historia. Dejemos que $A(h)$ sea el conjunto de perfiles de acción disponibles en $h$ : $A(h) = ×iP(h)$ $A_i (h)$ . Si $P(h)=$ para una historia no terminal $h$ entonces $A(h)$ es el conjunto finito de movimientos fortuitos en la historia $h$ .

• $f$ es un mapeo que asigna a cada historia no terminal $h$ tal que $P(h)=\emptyset$ una distribución de probabilidad $f(·|h)$ sobre las jugadas de azar $A(h)$ . Es decir, cuando el azar tiene que moverse después de una historia no terminal $h$ una acción $a \in A(h)$ se elige según la distribución de probabilidad $f(·| h)$ .

$\textbf{Question $ 2 $:}$ ¿Podría alguien dar un ejemplo sobre cómo funcionan estas tres propiedades para algún juego?

Answer 1

Así que $h$ es una historia del juego. Consideremos el siguiente juego, en el que el jugador 1 decide primero Cara o Cruz, y luego, dependiendo de su elección, se lanza una moneda cuyo resultado y probabilidades dependen de la elección del jugador 1.

Un ejemplo de historia $h$ es $h = Heads$ es decir, después de elegir las cabezas.

Consideremos el principio del juego, antes de que el jugador 1 haya elegido nada, es la historia vacía $h = \emptyset$ .

Según la definición anterior, $P(\emptyset) = 1$ ya que el jugador 1 se mueve allí, $P$ nos dice quién se mueve allí.

Por otro lado, considere $h = Tails$ Así que el nodo justo después del jugador 1 ha elegido Cruz.

(i) Sólo se mueve la naturaleza (¡NO un jugador!) por lo que $P(Tails) = \emptyset$ .

(ii) Ahora, $A(h)$ nos dice qué movimientos están disponibles para quien se mueve en ese punto. Así que para nuestro ejemplo, $A(\emptyset) = \{Heads,Tails\}$ y $A(Heads) = \{1,2\}$ .

(iii) Finalmente, $f$ sólo nos dice cuáles son las probabilidades de los movimientos de la naturaleza. Así que $f(1 | Heads) = Pr(\text{1 happens | Heads}) = 3/4$ .

Para completar, $f(3 | Tails) = 1/3$ .

En resumen, $P$ nos dice quién se mueve en un nodo. Si $P(h) = \emptyset$ La naturaleza se mueve.

$A_i(h)$ nos dice los movimientos disponibles para el jugador $i$ en el nodo $h$ . En el caso de que la naturaleza se mueva, son sólo los resultados disponibles de la aleatorización de la naturaleza, y la aleatorización se produce a través de las probabilidades descritas por $f(\cdot | h)$ .