Confusiones sobre cálculos en el documento de Teoría de la Utilidad.

Question

Recientemente estaba mejorando mis conocimientos sobre Funciones de Utilidad en finanzas. Me topé con un artículo muy bueno (aunque bastante antiguo): "An Introduction to Utility Theory" de John Norstad (1999). Lo que llamó mi atención fueron los gráficos en la sección 4. Representan funciones de utilidad de la riqueza:

• Primer gráfico (figura 2): $- \dfrac{10^6}{w^3}$
• Segundo gráfico(figure 3): $-\dfrac{10^{10}}{w^5}$

(Básicamente $-\dfrac{10^{2c}}{w^c}$) con c como constante elegida)

Puramente con fines de aprendizaje, intenté recrear su ejemplo (usando Excel/R) de la sección 4 (detalles en la página 7). En la misma página, el autor afirmó que la utilidad esperada (de 105) sería igual a -0.98. También se muestra debajo de la figura 2 en la tabla:

  Riqueza   Utilidad
 $90   -1.37   Mal resultado
 $100   -1.00   Riqueza actual
 $105   -0.98   Resultado esperado
 $120   -0.58   Buen resultado

Realicé la prueba con esos valores y para \$105 no coincide. Usando $- \frac{10^6}{105^3}$ obtengo -0.86. Lo sorprendente es que los otros valores indicados están calculados correctamente (90, 100, 120). Al principio pensé que solo era algún tipo de error tipográfico, pero al revisar la segunda fórmula utilizada para elaborar la función en la figura 3, se produjo la misma situación. Para la tabla:

Riqueza   Utilidad
 $90   -1.69   Mal resultado
 $100   -1.00   Riqueza actual
 $105   -1.05   Resultado esperado
 $120   -0.40   Buen resultado

cuando introduzco el valor 105 en la fórmula ($-\frac{10^{10}}{105^5}$) parece ser incorrecto (debería ser -0.78) mientras que los demás están correctos. Esto socava bastante mi teoría del error tipográfico. Además, esto contradice las conclusiones posteriores (página 9 bajo el gráfico) hechas por el autor.

Entonces mi pregunta es: ¿Omití algo? ¿O simplemente encontré un error? ¿O soy yo el equivocado?

Answer 1

La notación es un poco confusa pero lo que el autor está calculando es la utilidad esperada de la inversión, no la utilidad del resultado esperado.

Dado que la inversión resulta en una riqueza de \$120 con probabilidad 0.5 y una riqueza de \$90 con probabilidad 0.5, la utilidad esperada es igual a \begin{align*} \mathbb{E}U & = 0.5 \times (-\dfrac{10^6}{90^3}) + 0.5 \times (-\dfrac{10^6}{120^3}) \\ & \sim -0.98 \end{align*}

Observa que este valor es menor que la utilidad del resultado esperado, que es aproximadamente igual a $-0.86$ como escribiste. Esto se debe a que el agente es averso al riesgo y por lo tanto debe ser compensado por el riesgo.