Estoy luchando por encontrar un arbitraje en la siguiente configuración. Sé cómo demostrar que hay un arbitraje (utilizando el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos). Así que he demostrado que hay un arbitraje. Pero, ¿cómo encontrarlo?
Tengo dos activos y un bono en un mercado donde, el activo libre de riesgo tiene como interés $r$ , y los dos activos se definen como, donde el script inferior es el tiempo del activo, super script representa qué activo (primero o segundo) :
$$S_0^1 = 10 ; \qquad S_1^1 = \begin{bmatrix}12 \\ 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$
$$S_0^2 = 5 ; \qquad S_1^2 = \begin{bmatrix}10 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$$
En esa configuración, una opción obvia (dada por los precios de partida) es estar largo en el activo 2 y corto en el activo 1.
Sé que si $S_0^2 = 6$ , todavía hay un arbitraje. Sin embargo, ya no puedo encontrar más cuántas acciones de cada activo debo tomar. En hecho, en realidad puedo si $r = 0$ . En ese caso, existe un arbitraje consistente en cero posiciones en el bono, una posición corta en la acción 1 y dos posiciones largas en la acción 2. Esto ya no es cierto cuando $r > 0 $ .
Así que tengo dos preguntas, ¿puede alguien encontrar un arbitraje aquí cuando cambié el precio del segundo activo, así como lo que debería ser el método en general?
Además, ¿es posible que para crear un arbitraje haya que invertir en el bono? Creo que no debería cambiar las oportunidades de arbitraje porque el bono escala cada salida de forma idéntica. Tal vez esta es la razón por la que no puedo encontrar una solución a mi problema.
Salud.
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Mi prueba de que existe un arbitraje para $S_0^2 = 6$ .
Utilizando el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos que establece que existe una medida de martingala equivalente si el mercado está libre de arbitraje, estoy construyendo un EMM.
Para ello, busco la solución de la siguiente ecuación, donde $p$ es el precio del segundo activo:
$$ \begin{bmatrix}10 \\ p \\ 1 \end{bmatrix} = \left ( \begin{matrix}12, 8 , 6 \\ 10, 4 , 5 \\ 1,1,1 \end{matrix} \right ) \begin{bmatrix}q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{bmatrix} $$
aquí $r$ se considera igual a $0$ . Sin embargo, la matriz sigue siendo invertible si, por ejemplo $r = 0.05$ . Hice los cálculos, debería ser correcto, sin embargo es un dolor para escribir en látex como esos números ya no son enteros...
la última línea de la matriz proviene del hecho de que la suma de las probabilidades tiene que ser igual a $1$ . Finalmente, utilizando la condición implícita de que todas las probabilidades son positivas, se obtienen las tres condiciones siguientes para la existencia de las probabilidades (si existe un EMM si no hay arbitraje):
$$ 3 \leq p $$ $$ p \leq \frac{25} {3} $$ $$ 7 \leq p $$
Por lo tanto, mi conclusión es que cuando $ p \notin [7, 8 + \frac 1 3] \implies $ existe un arbitraje. ¿Me estoy equivocando?
