¿Fórmula para la cartera óptima de 2 activos cuando no se permite la venta a corto plazo?

Question

Estoy buscando una fórmula para calcular las ponderaciones de dos activos de riesgo que produzcan la cartera óptima (es decir, el mayor ratio de Sharpe).

Hasta ahora he encontrado la siguiente fórmula en una página web de la Universidad de Missouri

Sin embargo, esta fórmula suele producir ponderaciones negativas. Por ejemplo, devuelve una ponderación de -24% para el Activo A cuando el Tipo Libre de Riesgo=3%, Ra=5%, STDEVa=15%, Rb=10%, STDEVb=20%, CORRab=50%. Probablemente sea porque permite la venta en corto, lo que hace que no sea aplicable en mi situación. Necesito encontrar ponderaciones no negativas.

¿Alguien conoce una fórmula para las ponderaciones no negativas de una cartera óptima de dos activos que no permita la venta en corto?

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, debe convencerse de que, para el caso general (2 o más activos), y sin la restricción de no-cortocircuito, el gradiente de Sharpe con respecto a las ponderaciones de la cartera sólo tiene dos óptimos: un mínimo global y un máximo global. Consideremos ahora el caso de dos activos: se pueden expresar las ponderaciones de la cartera en coordenadas polares, en cuyo caso la restricción de no-cortocircuito se convierte en la restricción $0 \le \theta \le \pi/2$ . Por simple cálculo sólo hay que calcular el máximo global; si no satisface la restricción de no acortar, sólo hay que comprobar los dos puntos finales.

Ahora el óptimo global se produce en $$ \vec{w} \propto \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_1} \left(\zeta_1 - \rho \zeta_2\right)\\ \frac{1}{\sigma_2} \left(\zeta_2 - \rho \zeta_1\right)\\ \end{bmatrix}, $$ donde $\zeta_i$ es el Sharpe del $\mathrm{i}^{th}$ activo, y $\sigma_i$ es la volatilidad, y $\rho$ es la correlación de los rendimientos.

Entonces:

1. Si $\zeta_1, \zeta_2 \le 0$ ¡no aguanten nada!
2. Si $\zeta_2 \le \rho \zeta_1$ , entonces mantenga el activo 1, y disfrute de un Sharpe de $\zeta_1$ .
3. Si $\zeta_1 \le \rho \zeta_2$ y mantener el activo 2, y disfrutar de un Sharpe de $\zeta_2$ .
4. En caso contrario, mantenga el óptimo global, que tiene un Sharpe de $$\frac{\zeta_1^2 - 2 \rho \zeta_1 \zeta_2 + \zeta_2^2}{1 - \rho^2}.$$

Tenga en cuenta que el caso "ideal" es que el $\zeta_i$ son positivos y $\rho \to -1$ .

Answer 2

Para dos activos de riesgo, el problema de "no permitir la venta en corto" es trivial. Calcule la solución sin restricciones utilizando la fórmula que usted da y examine el resultado. Hay 3 casos:

(1) Si ambas ponderaciones son positivas, has tenido suerte y has encontrado la solución al problema de no permitir las ventas en corto. Deténgase aquí.

(2) Si uno de los pesos es negativo (y el otro es positivo) entonces no se puede invertir en uno de los activos, por lo que la solución es invertir el 100% en el otro activo (el que tiene el peso positivo en la solución sin restricciones)

(3) Si ambas ponderaciones son negativas, la solución es no invertir nada. (Si está obligado a invertir, entonces sólo tiene que elegir cuál de los dos activos odia menos).