Múltiples medidas de riesgo neutro en un mercado incompleto

Question

Esta pregunta se refiere a los mercados incompletos en los que existen múltiples medidas neutrales al riesgo. Estoy un poco confundido con esta idea. Digamos que tenemos un mercado incompleto con un solo proceso estocástico $X_t$ con

$$\mathrm{d}X_t = \mu(t, X_t)\mathrm{d}t + (t, X_t)\mathrm{d}W_t$$

Ahora digamos que este mercado tiene dos medidas neutrales al riesgo ( $\mathbb P_1$ y $\mathbb P_2$ ). ¿Puedo encontrar otra medida de este tipo? ¿Cuál es la relación entre las dos medidas?

Answer 1

• El primer teorema fundamental de la fijación de precios de los activos establece (básicamente) que un mercado está libre de arbitraje si y sólo si existe al menos una medida martingala equivalente (EMM)
• El segundo teorema fundamental de la fijación de precios de los activos establece (básicamente) que si un mercado está libre de arbitraje y es completo, entonces la medida martingala equivalente es única.

Un mercado está completo (básicamente) si hay al menos tantos activos negociables como fuentes de riesgo. En un entorno discreto, se necesitaría al menos el mismo número de activos negociables con retribuciones lineales independientes que de estados de la naturaleza.

Suponga que tiene una acción pero dos (o más) fuentes de riesgo (por ejemplo, volatilidad estocástica, saltos, tipos de interés, etc.). Supongamos que el mercado está libre de arbitraje. Entonces existe al menos un MME. Pero como el mercado es completo, no es único. Por lo tanto, existen infinitos EMM.

Sólo hay tres posibilidades

1. Existe sin EMM (si existen estrategias de arbitraje)
2. Existe un EMM (si el mercado está libre de arbitraje y completo)
3. Existen un número infinito de EMMs (si el mercado está libre de arbitraje pero es incompleto)

Es muy fácil de ver. Si $\mathbb P_1$ y $\mathbb P_2$ son EMMs, entonces también lo es $\mathbb P_\lambda=\lambda\mathbb P_1+(1-\lambda)\mathbb P_2$ para cualquier $\lambda\in[0,1]$ . Por lo tanto, es imposible tener sólo 2 o 42 EMM.

En realidad, los mercados están probablemente (casi) libres de arbitraje, pero incompletos. En consecuencia, no existe la única medida de martingala, sino una gama de posibles medidas de probabilidad que dan lugar a infinitos precios libres de arbitraje para un derivado. Así, se obtiene un intervalo de precios aceptables en los que se puede negociar el derivado. Para poder distinguir una medida, hay que hacer más suposiciones (derivar un modelo de equilibrio general, ignorar algunos factores de riesgo, etc.). Como alternativa, existe una amplia literatura sobre la cobertura en mercados incompletos.

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Prueba de que $\mathbb P_\lambda$ es una medida martingala equivalente (EMM). Sea $\mathbb P_1$ y $\mathbb P_2$ sean dos EMM y $\lambda\in[0,1]$ .

• El conjunto de medidas de probabilidad sobre un conjunto medible es convexo. Así, $\mathbb P_\lambda$ es una medida de probabilidad. Obviamente, $\mathbb P_\lambda[\Omega]=1$ .
• De nuevo, la teoría de la medida nos da $$ \int f\mathrm{d}\mathbb P_\lambda = \lambda\int f\mathrm{d}\mathbb P_1 + (1-\lambda)\int f\mathrm{d}\mathbb P_2$$ O bien, utilizar las expectativas para denotar las integrales, $$\mathbb{E}^{\mathbb{P}_\lambda}[X]=\lambda\mathbb{E}^{\mathbb{P}_1}[X]+(1-\lambda)\mathbb{E}^{\mathbb{P}_2}[X]$$ Por supuesto, esto supone que $f$ y $X$ son integrables y se aplica igualmente a las expectativas condicionales.
• Ahora, tenemos que demostrar que los precios descontados de los activos son $\mathbb{P}_\lambda$ martingalas. Supongamos que tenemos $d$ activos de riesgo, $S_t^{(d)}$ y un numerario, $B_t$ . Por definición, $\frac{S_t^{(d)}}{B_t}$ es una martingala con respecto a $\mathbb{P}_1$ y $\mathbb{P}_2$ (porque son EMM). Dejemos que $t\geq s$ . Entonces, \begin{align*} \mathbb{E}^{\mathbb{P}_\lambda}\left[\frac{S_t^{(d)}}{B_t}\Bigg|\mathcal{F}_s\right] &= \lambda \mathbb{E}^{\mathbb{P}_1}\left[\frac{S_t^{(d)}}{B_t}\Bigg|\mathcal{F}_s\right] + (1-\lambda) \mathbb{E}^{\mathbb{P}_2}\left[\frac{S_t^{(d)}}{B_t}\Bigg|\mathcal{F}_s\right] \\ &= \lambda \frac{S_s^{(d)}}{B_s} + (1-\lambda) \frac{S_s^{(d)}}{B_s} \\ &= \frac{S_s^{(d)}}{B_s}. \end{align*} Por lo tanto, los precios descontados de los activos son martingalas con respecto a $\mathbb{P}_\lambda$ y así, $\mathbb{P}_\lambda$ es otro EMM.