Pregunta sobre el equilibrio perfecto subgama

Question

Consideremos un mundo de información completa con dos agentes X e Y y dos periodos de tiempo 1 y 2.

La persona X sólo vive en el segundo periodo.

La persona Y vive tanto en el primer como en el segundo periodo.

X e Y están dotados cada uno de una renta exógena I que puede asignarse al consumo en ambos períodos.

$s_Y$ = el ahorro de Y y $0\le s_Y \le I$

$c_{1Y} $ y $c_{2Y} $ son los consumos del agente Y en el primer y segundo periodo, respectivamente.

Las preferencias de A gent X son altruistas para Y. Después de observar el ahorro de Y, $sY$ X determinar la cantidad de su dotación $tX$ para transferir a Y para $t_x\in [0,I]$

$c_{2X}$ el consumo del agente X en el periodo 2.

Las funciones de utilidad Y y X son respectivamente

$$V_Y= ln(C_{1Y}) + bln(C_{2Y})$$

$$V_X=ln(C_{2X})+a *V_Y$$

donde a es positivo y $a*b\ge 1$ y $b\in (0,1)$

¿Cuáles son los niveles de equilibrio perfecto del juego para $t_X$ y $s_Y$ ?

Answer 1

Si $S_Y$ es la cantidad ahorrada por $Y$ en el primer período, y $T_X$ es el importe transferido por $X$ a $Y$ en el segundo período, entonces $X$ como función de su elección $T_X$ tomando como referencia $Y$ de la elección de la persona. $S_Y$ es $$\ln(I - T_X) + a\left(\ln(I-S_Y) + b\ln(S_Y+T_X)\right)$$

$X$ elegirá $T_X$ resolviendo el siguiente problema : $$\max_{T_X \geq 0} \ \ \ln(I - T_X) + a\left(\ln(I-S_Y) + b\ln(S_Y+T_X)\right)$$

La condición de primer orden para la optimización es:

$$\frac{1}{I-T_X} =\frac{ab}{S_Y + T_X} $$

Resolverlo para $T_X$ nos encontramos con que,

$$T_X = \frac{abI-S_Y}{ab+1}$$

Esta es la mejor función de transferencia de respuesta de $X$ .

Ahora resolvemos $Y$ El problema de maximización de la utilidad de la persona en el período 1, teniendo en cuenta $X$ de la función de mejor respuesta del período 2.

\begin{eqnarray*} \max_{S_Y\geq 0} & & \ln(I - S_Y) + b\ln\left(S_Y + \frac{abI-S_Y}{ab+1}\right)\end{eqnarray*}

que se puede reescribir como

\begin{eqnarray*} \max_{S_Y \geq 0} & & \ln(I - S_Y) + b\ln\left(I+S_Y\right) + b \ln\left(\frac{ab}{ab+1}\right)\end{eqnarray*}

Resolviéndolo obtenemos $$S_Y^* = \max\left(\frac{(b-1)I}{b+1}, 0\right) $$

Desde $b \in (0, 1)$ , $$S_Y^* = 0$$

En consecuencia, $$T_X^* = \frac{abI}{ab + 1}$$