Estoy leyendo Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models de Steven Shreve y no entiendo cómo pasó de la ecuación de la izquierda a la del medio. Si te sirve de ayuda, esta sección está demostrando que la distribución de un paseo aleatorio escalado converge a la distribución normal.
$X_j$ puede ser 1 o -1 con un 50% de probabilidad cada uno. Así que este paso es sólo la aplicación de la expectativa a los dos casos posibles.
Véase definición de la Expectativa ... \begin{align} {\mathbb E}\bigl[ X \bigr] = \sum_i i \cdot p(x = i) \end{align}
Es la suma sobre todas las posibilidades de la probabilidad de obtener ese valor (tanto ${\frac 1 2}$ en su caso) multiplicado por el valor
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¿no es así porque X es +1 o -1 con un 50% de probabilidad, de modo que el paso que estás resaltando es la expectativa discreta de estos dos resultados?