Expectativa de la exponencial de 3 movimientos brownianos correlacionados

Question

Considera, son movimientos brownianos correlacionados con un determinado

Quiero calcular el, ,

No se me ocurre una forma de resolver esto aunque sí he resuelto una cuestión de expectativas con un solo movimiento browniano exponencial

Answer 1

Hay que rotarlos para encontrar unos ejes ortogonales.

Una forma sencilla de pensar en esto es recordando que podemos descomponer el segundo de dos movimientos brownianos en una suma del primer browniano y una componente independiente, utilizando la expresión \begin{align} W_{t,2} = \rho_{12} W_{t,1} + \sqrt{1-\rho_{12}^2} \tilde{W}_{t,2} \end{align} donde $\tilde{W}_{t,2}$ es ahora independiente de $W_{t,1}$

Si aplicamos esta expresión dos veces, obtenemos \begin{align} W_{t,2} &= \rho_{12} W_{t,1} + \sqrt{1-\rho_{12}^2} \tilde{W}_{t,2} \\ W_{t,3} &= \rho_{13} W_{t,1} + \sqrt{1-\rho_{13}^2} \tilde{W}_{t,3} \end{align}

Todavía no sabemos la correlación de $\tilde{W}_{t,2}$ y $\tilde{W}_{t,3}$ pero esto viene determinado por la correlación $\rho_{23}$ mediante la aplicación repetida de la expresión anterior, de la siguiente manera \begin{align} \rho_{23} &= \rho_{12}\rho_{13} + \sqrt{(1-\rho_{12}^2)(1-\rho_{13}^2)} \rho(\tilde{W}_{t,2}, \tilde{W}_{t,3}) \\ \rho(\tilde{W}_{t,2}, \tilde{W}_{t,3}) &= {\frac {\rho_{23} - \rho_{12}\rho_{13}} {\sqrt{(1-\rho_{12}^2)(1-\rho_{13}^2)}}} = \tilde{\rho} \end{align} por lo que podemos reexpresar $\tilde{W}_{t,3}$ como \begin{align} \tilde{W}_{t,3} &= \tilde{\rho} \tilde{W}_{t,2} + \sqrt{1-\tilde{\rho}^2} \tilde{\tilde{W}}_{t,3} \end{align}

Ahora podemos expresar su expectativa como la suma de tres términos independientes, que puedes calcular individualmente y tomar el producto: \begin{align} & {\mathbb E}[e^{\sigma_1 W_{t,1} + \sigma_2 W_{t,2} + \sigma_3 W_{t,3}}] \\ &= {\mathbb E}[e^{(\sigma_1 + \sigma_2 \rho_{12} + \sigma_3 \rho_{13}) W_{t,1} + (\sqrt{1-\rho_{12}^2} + \tilde{\rho})\tilde{W}_{t,2} + \sqrt{1-\tilde{\rho}} \tilde{\tilde{W_{t,3}}}}] \\ &= {\mathbb E}[e^{(\sigma_1 + \sigma_2 \rho_{12} + \sigma_3 \rho_{13}) W_{t,1}}] {\mathbb E}[e^{(\sigma_2\sqrt{1-\rho_{12}^2} + \sigma_3\tilde{\rho})\tilde{W}_{t,2}}]{\mathbb E}[e^{\sigma_3\sqrt{1-\tilde{\rho}} \tilde{\tilde{W_{t,3}}}}] \end{align} Así que es sólo el producto de tres de sus expectativas de proceso de Weiner único con multiplicadores ligeramente funky

Answer 2

Además de la espléndida respuesta de @StackG, me gustaría ofrecer una respuesta que se basa en la noción de que el movimiento browniano multivariado es por supuesto multivariante normalmente distribuida y en su función generadora de momentos .

Sabemos que

$$ \mathbb{E}\left(W_{i,t}W_{j,t}\right)=\rho_{i,j}t $$

es decir, un $N$ -vector de dimensiones $X$ de movimientos brownianos correlacionados tiene tiempo $t$ -(suponiendo que $t_0=0$ :

$$ X_t\sim \mathbb{N}\left(\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma}\right)=\mathbb{N}\left( \begin{bmatrix}0\\ \ldots \\\ldots \\ 0\end{bmatrix}, t\times\begin{bmatrix}1 & \rho_{1,2} & \ldots & \rho_{1,N}\\ \rho_{1,2} & 1 & \ldots & \rho_{2,N}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \rho_{1,N}&\rho_{2,N}&\ldots & 1 \end{bmatrix}\right) $$

La MGF de la distribución normal multivariante es

$$ M_X(\mathbf{t})\equiv\mathbb{E}\left( e^{\mathbf{t}^T\mathbf{X}}\right)=e^{\mathbf{t}^T\mathbf{\mu}+\frac{1}{2}\mathbf{t}^T\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}} $$

En su caso, $\mathbf{\mu}=0$ y $\mathbf{t}^T=\begin{pmatrix}\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3\end{pmatrix}$ . Por lo tanto,

$$ \begin{align} M_X(\begin{pmatrix}\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3\end{pmatrix})&=e^{\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sigma_1&\sigma_2&\sigma_3\end{pmatrix}\mathbf{\Sigma}\begin{pmatrix}\sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3\end{pmatrix}}\\ &=e^{\frac{1}{2}t\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2+2\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2}+2\sigma_1\sigma_3\rho_{1,3}+2\sigma_2\sigma_3\rho_{2,3}\right)} \end{align} $$

Answer 3

También se puede aplicar el lema de Ito (para el movimiento browniano correlacionado) para la función $$ f(I_1, I_2, I_3) = e^{I_1+I_2+I_3}.$$ La SDE resultante para $f$ será de la forma (con t explícito como argumento ahora) $$f(t) = f(0) + \frac{1}{2}k\int_0^t f(s) ds + \int_0^t \ldots dW_1 + \ldots$$ en el que $k = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 +\sigma_3^2 + 2 \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + 2 \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + 2 \rho_{23}\sigma_2\sigma_3$ y las integrales estocásticas no se han declarado explícitamente, porque su expectativa será cero.

Al tomar la expectativa de $f$ y definiendo $m(t) := \mathrm{E}[f(t)]$ obtendremos (con el teorema de Fubini) $$m(t) = m(0) + \frac{1}{2}k\int_0^t m(s) ds.$$ Diferenciando con respecto a t y resolviendo la EDO resultante se llega al resultado.