Una definición más débil de la no saturación local también puede implicar la "curva" de indiferencia

Question

Dejemos que $u$ sea una función de utilidad continua sobre $\mathbb R^2_+\setminus\{0\}$ . Considere las tres condiciones siguientes:

1. Local no saciedad dice que para cualquier $x \in X$ y $\epsilon > 0$ existe $y \in X$ tal que $d(x,y) < \epsilon$ y $U(x) < U(y)$ .
2. La no saciedad local* dice que para cualquier $x \in X$ y $\epsilon > 0$ existe $y \in X$ tal que $d(x,y) < \epsilon$ y $U(x) \neq U(y)$ .
3. Los conjuntos de indiferencia de $U$ son curvas.

Como resultado estándar, (1) implica (3) y (3) implica(1).

Obviamente, (1) implica (2) por lo que (3) también implica (2).

¿Puede (2) implicar también (1) y (3)

Answer 1

(2) no implica (1). Consideremos una función de utilidad con "curvas de indiferencia circulares", por ejemplo $u(x,y)=-(x-1)^2-(y-1)^2$ . En el punto de felicidad $(1,1)$ la función satisface (2) pero viola (1).

(2) sí implica (3), y la prueba debería ser similar a la que demuestra que (1) implica (3).