Método de la razón de verosimilitud - Delta

Question

Estuve revisando Glasserman(2004) - Monte Carlo for Financial Engineering y llegué al método de la razón de verosimilitud. También estoy mirando en mi libro de texto (M. Cerrato: The Mathematics of derivatives securities with applications in Matlab). Revisando ambas fuentes veo algunas diferencias y no sé cuál es la correcta.

Glasserman dice que para estimar el delta de BlackScholes hay que pensar en $S(0)$ como parámetro de $S(T)$ . Tenemos la función de densidad de un logaritmo normalmente distribuido var. $$g(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{T}}\phi(d(x))$$ donde $$d(x)=\frac{ln(x/S(0)-(r-1/2\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$ así que aquí viene mi primera pregunta. ¿Qué es $$\frac{\frac{\partial g(x)}{\partial S(0)}}{g(x)}$$ ¿Igual? Lo he intentado por mi cuenta (mi matemática no es especialmente fuerte así que si eres amable de poner tu cálculo paso a paso te lo agradecería mucho) y he obtenido $$\frac{\partial\phi(d(x))}{\phi(d(x))}\frac{\partial d(x)}{\partial S(0)}$$ que es bastante diferente de mi profesor y de Glasserman. $$Glasserman=-d(x)\frac{\partial d(x)}{\partial S(0)}$$ $$My\ lecturer=\frac{\partial ln(g(S(T)))}{\partial S(0)}$$ ¿Cuál de las dos es correcta (no espero que la mía lo sea :)) )? y ¿cómo funciona la derivación?

Gracias de antemano.

Answer 1

La segunda forma es la misma que la primera, donde $x=S(T)$ . $$\frac{\partial ln(g(x))}{\partial S(0)} = \frac{\partial ln(g(x))}{\partial g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial S(0)} = \frac{1}{g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial S(0)}$$ En cuanto a la derivación, aplica la regla de la cadena. $$\begin{align} \frac{1}{g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial S(0)} &= \frac{1}{g(x)}\frac{\partial}{\partial S(0)}\left[\frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\phi(d(x))\right] \\ &= \frac{1}{g(x)}\frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\phi'(d(x))\frac{\partial d(x)}{\partial S(0)} \end{align}$$ Para continuar, observe que $\phi'(x) = -x\phi(x)$ . Doy esto sin pruebas y lo dejo como ejercicio para que lo verifiquen.

Ahora podemos terminar. $$\begin{align} \frac{1}{g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial S(0)} &= \frac{1}{g(x)}\frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}(-d(x))\phi(d(x))\frac{\partial d(x)}{\partial S(0)} \\ &= -d(x)\frac{\partial d(x)}{\partial S(0)} \end{align}$$