¿Se puede medir un proceso de salchicha? (ejercicio de Bjork)

Question

Voy a reclamar $$E[W(T) \vert F_t] = 0$$ para $t<T$ . De todos modos, en un ejercicio de Bjork los resultados requieren que $$E[W(t) \vert F_t] = 0$$ ¿Pero por qué? ¿No es $W(t)$ medible en el momento $t$ y por lo tanto no necesariamente $0$ ? $W$ es, por supuesto, un Proceso de Wiener.

Más exactamente: $$F(t,x)=E[2*\ln(x) \vert F_t],$$ $$X(T)=\exp \left \{\ln(X(t)) + c(T-t)+\sigma[W(T)-W(t)] \right \}$$ donde $c$ es constante y $X(t)=x_t$ . El resultado es entonces $$F(t,x)=2\ln x_t + 2c(T-t)$$ Esto sólo puede ser cierto si $E[W(t) \vert F_t] = 0$ . ¿Por qué?

Me refiero al ejercicio 5.9 de Bjork, Teoría del Arbitraje Finanza en Tiempo Continuo y el resultado se dibuja aquí en la página 8 http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/fmsn25masm24/ht11/Bjork_sol.pdf

Answer 1

Creo que has mezclado varias cosas. Intentaré ayudarte.

Todo comenzó con su afirmación de que $\Bbb E \bigl[W(T) \mid \mathcal F_t \bigr] = 0$ que es equivocada ¡!

si $W$ es una noción browniana, entonces

$$ \Bbb E \bigl[W(T) \mid \mathcal F_t \bigr] = W(t), \quad t\leq T. $$ Esto se deduce del hecho de que los movimientos brownianos son martingalas. Aquí y en todo lo que sigue, asumo que $\mathcal F$ es la filtración tal que $W$ se adapta a $\mathcal F$ .

Esto nos lleva a la segunda cuestión. $$ \Bbb E \bigl[W(t) \mid \mathcal F_t \bigr] = W_t, $$ que es sólo un caso especial de mi primera ecuación. Alternativamente, también se podría argumentar que $W(t)$ es $\mathcal F_t$ medible.

La siguiente cuestión menor es la definición de su función $F$ . Su definición de $F$ y la definición del archivo pdf difieren. En el archivo pdf tenemos que

$$ F(t,x) = \Bbb E ^{t,x} \Bigl[2 \ln \bigl(X(T)\bigr) \Bigr] = \Bbb E\Bigl[2 \ln \bigl(X(T)\bigr) \mid X(t) = x\Bigr]. $$

Su definición de $F(t,x)$ se simplificaría a $F(t,x) = 2 \ln(x)$ .

Por último, pero no menos importante, mostraré que $F(t,x) = 2 \ln (x) + 2(\mu - \frac 12\sigma^2) (T-t)$ .

Por lo tanto, tenga en cuenta que $$ \ln (X(T)) = x + (\mu - \frac 12\sigma^2) (T-t) + \sigma(W(T)-W(t)), $$ por lo que queda por demostrar que $$ \Bbb E^{t,x} \Bigl[W(T) - W(t) \Bigr] = 0. $$ Pero esto se deduce (casi) de mi primera y segunda ecuación.

Answer 2

¿De dónde sabes que $E[W(T)|F_t]=0$ ? Cuando $W(t)$ es un Proceso de Wiener con respecto a $F_t$ sostiene que $E[W(T)|F_t]=W(t)$ (porque $W(t)$ es una martingala con respecto a esa filtración).