Problema al derivar la fórmula de Bachelier con los tipos de interés

Question

En el modelo de Bachelier, tengo dificultades con un determinado paso. Quiero averiguar la distribución de $S_T$ que es el proceso de precios en el modelo de Bachelier.

Hasta ahora podría afirmar que ( $\mathbb{Q}$ es el EMM): \begin{eqnarray} dS_t = r S_t dt + \sigma W^\mathbb{Q}_t \label{SDE2} \end{eqnarray} y con eso \begin{eqnarray} S_T = S_0 e^{rT} + \int\limits_{0}^{T}\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s \end{eqnarray} Ahora he encontrado un libro que dice que $S_T$ tiene distribución: \begin{eqnarray} S_T \sim \mathscr N \left(S_0 e^{rT}, \sqrt{\frac{\sigma^2-\sigma^2e^{-2rT}}{2r}} \right) \end{eqnarray}

No entiendo por qué, tal vez mis conocimientos de integración estocástica no son suficientes.

Gracias por tomarse su tiempo.

Answer 1

Como explica @byouness, el uso de Isometría de Itô obtenemos: $$\begin{align} V(S_T)&=V^{\mathbb{Q}}\left(\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s\right) \\[9pt] &=E^{\mathbb{Q}}\left(\left(\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s\right)^2\right)-{\underbrace{E^{\mathbb{Q}}\left(\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s\right)}_{=\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} E^{\mathbb{Q}}(dW^\mathbb{Q}_s)=0}}^2 \\[-9pt] &=E^{\mathbb{Q}}\left(\int_0^T\sigma^2 e^{2r(T-s)} ds\right) \end{align}$$ La integral restante es determinista, por lo tanto: $$V(S_T)=\sigma^2\left[-\frac{e^{2r(T-s)}}{2r}\right]_{s=0}^{s=T}=\sigma^2\left(\frac{e^{2rT}-1}{2r}\right)$$ Tenga en cuenta que su resultado es correcto hasta el signo menos. Esto se debe probablemente a que la dinámica de Bachelier para el precio de las acciones también se conoce como Proceso Ornstein-Uhlenbeck que normalmente se define con un signo menos en la deriva, es decir: $$dS_t = \color{red}{-}r S_t dt + \sigma W^\mathbb{Q}_t$$ en cuyo caso la volatilidad viene dada por la expresión de tu post original.