Variación mínima en una cartera de opciones de compra

Question

Mis disculpas si esta pregunta puede ser más adecuada en otro lugar, sin embargo, se refiere a la probabilidad y las finanzas matemáticas, así que pensé en publicarla aquí.

La pregunta es:

Supongamos un universo en el que Black-Scholes es válido y Alicia quiere vender una cesta de $X$ opciones de compra a Bob en $Y$ diferentes poblaciones con pesos dados por el vector $W$ , con la condición de que $X>Y$ y que la suma de $W=1$ . Se le da un vector de precios de ejercicio $K$ que no puede cambiar, además se le da una matriz de co-varianza $\Sigma$ .

Si quiere minimizar la cantidad esperada que tiene que pagar al vencimiento a Bob cambiando únicamente los pesos del vector $W$ entonces, ¿cómo se calcularía esto?

Mi opinión es que simplemente utilizaría la cartera de varianza mínima de Markowitz, pero en realidad no estoy seguro de que esto dé un resultado válido.

Answer 1

Probablemente querías especificar que todos los $w_i>0$ y que

$$\sum w_i=1$$

De lo contrario, es difícil dar sentido a la pregunta.

El pago esperado de cualquiera de estas opciones viene dado por la fórmula de Black-Scholes. La expectativa de una suma es la suma de las expectativas, por lo que tenemos que este pago esperado es

$$ \sum w_i BS(k_i, x_i, \Sigma) $$

donde estoy tomando $x_i$ para ser el $i^{th}$ acciones elegidas de $y_i$ y $k_i$ para ser la huelga.

Es fácil ver que esta suma se minimiza cuando tomamos la opción más barata en el índice $i_{\mathrm{min}}$ , set

$$w_{i_{\mathrm{min}}}=1$$

y todos los demás $w_i=0$ .

La cartera de varianza mínima de Markowitz será muy diferente.