Modelos con aprendizaje en la práctica y desbordamiento del conocimiento - Barro, Sala-i-Martin (2003)

Question

Consideremos el modelo de crecimiento endógeno con aprendizaje en la práctica y desbordamiento del conocimiento presentado en Barro y Sala-i-Martin (2003), capítulo 4, sección 4.3, a partir de la página 212. En equilibrio, la tasa de crecimiento del consumo en la economía descentralizada viene dada por: $$ \frac{\dot{c}}{c} = \left(\frac{1}{\theta} \right) \cdot \left( \underbrace{f(L) - L \cdot f'(L)}_{\phi_0} - \delta - \rho\right) $$ donde $c$ es el consumo per cápita, $\theta$ es la inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal, $L$ es el tamaño de la población activa ( $\frac{\dot{L}}{L} = n$ se supone que es igual a $0$ ), $\delta$ es la tasa de depreciación, $\rho$ es la tasa de descuento subjetiva y $\phi_0$ es el producto marginal del capital.

Si consideramos ahora un planificador central, la siguiente expresión de la tasa de crecimiento de $c$ se puede obtener: $$ \frac{\dot{c}}{c}\bigg\vert_{\text{planner}} = \left( \frac{1}{\theta} \right) \cdot (\underbrace{f(L)}_{\phi_1} - \delta - \rho) $$ donde $\phi_1 = f(L)$ es el producto medio del capital.

A continuación, los autores presentan un ejemplo utilizando una producción Cobb-Douglas dada por: $$ Y_i = A \cdot (K_i)^\alpha \cdot (KL_i)^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1 $$ donde el índice $i$ corresponde a la empresa $i$ es decir, $Y_i$ es la producción de la empresa $i$ .

Bajo los supuestos del modelo, si sustituimos $y_i = \frac{Y_i}{L_i}, k_i = \frac{K_i}{L_i}$ y $k = \frac{K}{L}$ y, a continuación, establecer $y_i = y$ y $k_i = k$ el producto medio del capital es: $$ \frac{y}{k} = f(L) = A \cdot L^{1-\alpha} $$ y el producto marginal del capital es $$ f(L) - L \cdot f'(L) = A \cdot \alpha \cdot L^{1-\alpha} $$ y, por lo tanto, \begin{align*} \frac{\dot{c}}{c} &= \left(\frac{1}{\theta} \right) \cdot \left(A \cdot \alpha \cdot L^{1-\alpha} - \delta - \rho\right) \\ \frac{\dot{c}}{c}\bigg\vert_{\text{planner}} &= \left( \frac{1}{\theta} \right) \cdot (A \cdot L^{1-\alpha} - \delta - \rho) \end{align*} Desde $0 < \alpha < 1$ La tasa de crecimiento de la economía descentralizada es inferior a la de la economía con planificador central.

Continuando, los autores escriben lo siguiente y cito:

El óptimo social puede alcanzarse en la economía descentralizada introduciendo un crédito fiscal a la inversión al tipo $(1-\alpha)$ y financiarlo con un impuesto a tanto alzado. Si los compradores de capital pagan sólo la fracción $\alpha$ del coste, el rendimiento privado del capital corresponde a la rentabilidad social. Podemos entonces demostrar que las elecciones descentralizadas coinciden con las del planificador social. Alternativamente, el gobierno podría generar el mismo resultado subvencionando la producción a la tasa $ \frac{(1-\alpha)}{\alpha} $

No puedo entender cómo el impuesto y la subvención podrían hacer que la economía descentralizada alcanzara un nivel socialmente óptimo de tasa de crecimiento. Intuitivamente, puedo ver cómo podría funcionar, pero no puedo ver cómo la matemática detrás de ella funcionaría en este caso.

Si alguien pudiera explicarme eso o indicarme la dirección correcta se lo agradecería. Avísenme si tengo que añadir más detalles a la pregunta.

Answer 1

Podemos demostrarlo añadiendo algún bien público al modelo que se financiará con impuestos a tanto alzado (lo que también se discute en Barro y Sala-i-Martin (2004). Economic Growth 2nd ed. ch 4.4.1). Así que supongamos que Cobb-Douglas se da como en Barro 1990 como:

$$Y_i=AL_i^{1-\alpha} K_i^{\alpha}G^{1-\alpha} \tag{1}$$

Ahora, para cualquier $G$ Las empresas que maximizan los beneficios equipararán el producto marginal del capital al precio de alquiler $r+\delta$ y esto nos dará:

$$\alpha A k_i ^{ -(1-\alpha)}G^{1-\alpha}= r+\delta. \tag{2}$$

Dado que las empresas son homogéneas, todas ellas elegirán un $k_i=k$ y por lo tanto obtenemos:

$$Y= AL^{1-\alpha}K^{\alpha}G^{1-\alpha} \implies G = \left(\frac{G}{Y}\right)^{\frac{1}{\alpha}} (AL)^{\frac{1}{\alpha}}k \tag{3}$$

Ahora tenemos que asumir que el gobierno elegirá alguna constante $G/Y$ y utilizando esto combinando (3) y (4) nos da:

$$\alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} = r+ \delta \tag{4}$$

Ahora, porque $G/Y$ y $L$ son constantes también el producto marginal del capital será constante con respecto al tiempo. En consecuencia:

$$\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} \left( \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} - \delta - \rho \right) \tag{5} $$

Ahora bien, lo anterior también resulta ser el óptimo elegido por un planificador social benévolo en este caso porque el planificador elegiría $c$ , $k$ y $G$ al máximo:

$$\int^\infty_0 e^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} dt \tag{6}$$

que es la utilidad del hogar, sujeta a la restricción:

$$ \dot{k} = A K^{\alpha}G^{1-\alpha}-c-\delta k - G/L \tag{7}$$

combinamos (6) y (7) fijando el hamiltoniano:

$$H = e^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} + v\left( A K^{\alpha}G^{1-\alpha}-c-\delta k - G/L \right) \tag{8}$$

que nos dará los siguientes FOC's:

$$ e^{-\rho t} c^{-\theta} = v \tag{9}$$

$$ A(1-\alpha)k^{\alpha}G^{-\alpha} = \frac{1}{L} \implies \partial Y/ \partial G =1 \tag{10} $$

$$ - \dot{v} = v \left(A \alpha K^{\alpha-1}G^{ 1-\alpha} - \delta \right) \tag{11}$$

y también tenemos que imponer la condición de transversalidad.

Ahora, en realidad, el FOC dado en la ecuación (10) implicando que $ \implies \partial Y/ \partial G =1$ nos dice que en el óptimo $G/Y=1-\alpha$ (que es de donde procede el valor de la desgravación fiscal por inversión).

Finalmente encontramos que cuando $G/Y=1-\alpha$ planificador social elegiría:

$$\frac{\dot{c}}{c} \bigg\vert_{\text{social planner}}= \frac{1}{\theta} \left( \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} - \delta - \rho \right) \tag{12} $$

que es exactamente el mismo que el equilibrio descentralizado dado por 5. Sin embargo, el supuesto de los impuestos de suma fija es importante para este resultado y, generalmente, utilizando algún impuesto distorsionador no obtendremos el mismo resultado.