¿Cómo pueden dos funciones de utilidad diferentes representar las mismas preferencias?

Question

Tengo esta pregunta para microecon que pregunta si las siguientes funciones de utilidad representan las mismas preferencias:

1. $u(x_1, x_2) = x1 \cdot x2, \; v(x_1, x_2) = \ln x_1 + \ln x_2$

2. $u(x_1, x_2) = x1 \cdot x2, \; v(x_1, x_2) = x_1 + x_2$

¿Cómo puedo abordar este problema, ya que se trata de dos funciones diferentes?

Answer 1

En primer lugar, una función de utilidad $u: X \rightarrow \mathbb{R}$ representa la relación de preferencia $\succsim$ si: $$\forall a, b \in X, \; u(a) \geq u(b) \iff a \succsim b.$$

Bien, si otra función $v: X \rightarrow \mathbb{R}$ representa $\succsim$ entonces: $$\forall a, b \in X, \; v(a) \geq v(b) \iff a \succsim b.$$

Pero lo anterior implica lo siguiente:

$$\forall a, b \in X, \; u(a) \geq u(b) \iff v(a) \geq v(b).$$

Lo que significa que ambas funciones preservan la relación de orden, tal como lo dijo Herr K. Otra parte importante del artículo de Wikipedia es este . Como ves, cualquier función monotónicamente creciente (y debe ser creciente, no decreciente) preserva la relación de preferencia.

Así que ahora creo que podrá responder a ambas preguntas. Como consejo para la primera, piensa en el $\ln(x)$ es una función monótona creciente?