Esta es una edición de la pregunta anterior, sobre el proceso estacionario, que fue respondida por Richard a continuación.
Dejemos que $x_t$ sea un proceso markoviano de media cero y homogéneo en el tiempo $t$ a partir de $x_0=0$ . ¿Cuáles son los ejemplos de $x_t$ donde la varianza en $t$ no aumenta a lo largo de $t$ ?
1) En tiempo discreto y estado discreto, el siguiente es un ejemplo muy simple donde la varianza oscila periódicamente en el tiempo.
$$x_{t+1} = \eta(1-|x_t|),\, x_0=0;\, \eta\in\{-1,1\},\mbox{ with probability of } \frac{1}{2} \mbox{ on each value of }\eta.$$
2) En tiempo continuo, pero con trayectoria discontinua, ¿es el siguiente proceso de difusión de saltos un ejemplo correcto?
$$dx_t = -\alpha x_t dt+dz_t+ y\eta dN_t,\, x_0 = 0,$$ donde $\alpha\gg 0$ , $z_t$ es el movimiento browniano estándar con media $0$ y la desviación estándar $t$ , $N_t$ es el proceso de Poisson con frecuencia $0<\lambda\ll 1$ , $\eta$ asume los valores $-1$ o $1$ con $0.5$ probabilidad cada uno, $z_{t_1}$ , $N_{t_2}$ y $\eta$ son independientes entre sí a un nivel arbitrario $t_1$ y $t_2$ y constante $y\gg 1$ .
Pensándolo bien, este no es un ejemplo correcto. Uno puede resolver esta ecuación y encontrará que la varianza de este proceso es la suma de la varianza de $dz_t$ y que desde $dN_t$ debido a su independencia. Tendremos que hacer que los saltos estén correlacionados negativamente con $z_t$ .
Una mejor configuración es cambiar $x_t$ más allá de una barrera directamente a la $x=0$ línea. Así que el proceso reside en la topología de dos cilindros tocados a lo largo de una longitud. Sin embargo, me parece que incluso esta configuración con $x_t$ siendo un movimiento Browniam estándar o uno de reversión de la media sin ningún proceso de salto todavía tiene su varianza aumentando con el tiempo.
Por lo tanto, sigo sin un ejemplo válido en esta configuración.
3) ¿Cuáles son los ejemplos de trayectoria continua? Sospecho que no es posible. ¿Puede alguien demostrarlo si es realmente imposible?
