Fijación de precios de los CF basados en el LIBOR liquidados después de la fijación del LIBOR, pasando de medidas neutrales al riesgo a medidas neutrales al futuro

Question

Al derivar la fórmula del tipo swap basado en el LIBOR en cualquier modelo de tipos de interés, aparecen naturalmente expresiones de los siguientes tipos:

La literatura nos dice que, cambiando a la - medida neutral hacia adelante, es igual a:

donde las expresiones y representan los tipos Libor a plazo a tiempo-t y al contado a tiempo-T, respectivamente.

Por un lado, realizar el cambio de medida utilizando el tiempo Derivado de Radon-Nikodym conduce directamente al resultado deseado.

Sin embargo, me parece que no tenemos derecho a hacerlo porque se define sólo hasta el tiempo T y no tendría sentido aplicar a un valor que ya no está definido en el momento ¿lo haría?

Por otro lado, realizando el cambio de medida mediante la derivada de Radon-Nikodym del tiempo-T tiene más sentido para mí, pero conduce a la presencia de términos que no sé cómo simplificar en la expectativa neutral hacia adelante así obtenida.

De ahí las siguientes preguntas:

1. El cambio de medida debe realizarse mediante o ?

2. Si se debe hacer utilizando ¿cómo es compatible con el hecho de que ya no está definida para t > T?

3. Si se debe hacer utilizando ¿cómo podemos simplificar la expresión ?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

La fórmula del cambio numérico nos dice que para un activo negociable $X$ , y dos numéraires $N$ y $M$ podemos escribir (por $\mathbb{E}^N$ Denoto la expectativa bajo la medida martingala asociada al numéraire $N$ ): $$ N_t\times\mathbb{E}^N_t \left[\frac{X_{T_1}}{N_{T_1}} \right] = M_t\times\mathbb{E}^M_t \left[\frac{X_{T_1}}{M_{T_1}} \right] $$

Esta fórmula no es necesariamente válida en $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}_{T_1}$ ¡! En general, será válido en un $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{F}_{T_2}$ con $T_2 \leq T_1$ .

Por un lado, su flujo LIBOR es $\mathcal{F}_T$ -medible, por lo que trabajaremos con $t \leq T$ .

Por otro lado, el numéraire natural a utilizar es el bono de cupón cero con el mismo vencimiento que su flujo LIBOR: $T+\delta$ . Esto se debe a que el flujo del LIBOR puede verse como una cesta de bonos de cupón cero, expresada en términos de un este numéraire: $$ L_T(T,T+\delta) = \frac{1}{\delta} \left(\frac{P_T^T - P_T^{T+\delta}}{P_T^{T+\delta}}\right) $$ En términos matemáticos, esto significa que el flujo del LIBOR es una martingala bajo la medida asociada a este numéraire.

Así, aplicando la fórmula anterior para su flujo de LIBOR, se obtiene: $$ B_t \times \mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \left[\frac{L_T(T, T+\delta)}{B_{T+\delta}} \right] = P_t^{T+\delta} \times \mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}_{T+\delta}}\left[\frac{L_T(T, T+\delta)}{P_{T+\delta}^{T+\delta}} \right] $$ que se simplifica a: $$ \begin{aligned} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \left[ e^{-\int_t^{T+\delta} r(u)du }L_T(T, T+\delta) \right] &= P(t, T+\delta) \times \mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}_{T+\delta}} \left[L_T(T, T+\delta)\right] \\ &= P(t, T+\delta) \times L_t(T,T+\delta) \end{aligned} $$

Sin embargo, como se ha señalado anteriormente, esto sólo es válido en $\mathcal{F}_T$ Así que sólo para $t \leq T$ ¡!

Answer 2

Aquí hay una solución inspirada en el ejercicio 10.12 del libro de Shreve "stochastic calculus for finance II":

1. cambio de medida, el truco consiste en aplicar la ley de la expectativa iterada:

$$E_t^Q\left[e^{-\int_{u=t}^{T+\delta}r_udu}\times L_T(T,T+\delta)\right]=E_t^Q\left[E_T^Q\left[e^{-\int_{u=t}^{T+\delta}r_udu}\times L_T(T,T+\delta)\right]\right]=E_t^Q\left[e^{-\int_{u=t}^{T}r_udu}\times L_T(T,T+\delta)\times E_T^Q\left[e^{-\int_{u=T}^{T+\delta}r_udu}\right]\right]=E_t^Q\left[\frac{B_t}{B_T}\times L_T(T,T+\delta)\times P_T^{T+\delta}\right]=E_t^Q\left[\left(\frac{B_t}{B_T}\times \frac{P_T^{T+\delta}}{P_t^{T+\delta}}\right)\times L_T(T,T+\delta)\right]\times P_t^{T+\delta}=E_t^Q\left[\frac{dQ^{T+\delta}}{dQ}|_T\times L_T(T,T+\delta)\right]\times P_t^{T+\delta}=E_t^{Q_{T+\delta}}\left[L_T(T,T+\delta)\right]\times P_t^{T+\delta}$$

2. prueba de que $L_t(T,T+\delta)$ es una martingala bajo la $T+\delta$ -Medida de avance:

$$1+\delta L_t(T,T+\delta)=\frac{P_t^T}{P_t^{T+\delta}}=\frac{E_t^Q\left[\frac{B_t}{B_T}\right]}{P_t^{T+\delta}}=E_t^Q\left[\left(\frac{B_t}{B_T}\times \frac{P_T^{T+\delta}}{P_t^{T+\delta}}\right)\times \frac{P_T^T}{P_T^{T+\delta}}\right]=E_t^Q\left[\frac{dQ^{T+\delta}}{dQ}|_T\times \left(1+\delta L_T(T,T+\delta)\right)\right]=E_t^{Q_{T+\delta}}\left[1+\delta L_T(T,T+\delta)\right]$$

así que tenemos:  $L_t(T,T+\delta)=E_t^{Q_{T+\delta}}\left[L_T(T,T+\delta)\right]$

Si se combinan ambas igualdades se obtiene el resultado.