Volatilidad de la ATM SABR

Question

La volatilidad implícita ATM es importante en SABR cuando se calibra el modelo. Consideremos la volatilidad ATM (para una opción de compra europea): $$\sigma = \frac{\alpha}{f^{1-\beta}} \left[ 1+ \left(\frac{(1-\beta)^2}{24}\frac{\alpha^2}{f^{2-2\beta}}+\frac{1}{4}\frac{\rho \beta v}{f^{1-\beta}}+\frac{1}{24} (2-3\rho^2)v^2 \right)T \right]$$ donde $v$ es el resto es obvio y la misma notación se utiliza en el documento original de Hagans.

Sin embargo, se menciona comúnmente en la literatura que esta volatilidad puede ser estimada por el primer término: $$\sigma \approx \frac{\alpha}{f^{1-\beta}}$$

¿Cómo se puede probar/demostrar esa afirmación ?

https://www.next-finance.net/IMG/pdf/pdf_SABR.pdf

Answer 1

En resumen, esta afirmación no es válida en todas las circunstancias.

Hay algunas formas de desglosar dicha aproximación.

1. Las opciones consideradas tienen un vencimiento muy largo, es decir $T$ es muy grande

2. A medida que se acerca la fecha de vencimiento, la sonrisa de la volatilidad se hace más pronunciada, es decir $v$ se vuelve relativamente grande.

3. En condiciones de mercado extremas, la magnitud de $\rho$ y $v$ se vuelven significativos dando lugar a un término de expansión no trivial.

Sin embargo, en la mayoría de los casos, los términos de expansión son mucho más pequeños que 1, por lo que yo diría que esta aproximación es legítima para la mayor parte del tiempo.

Answer 2

Como mencionó @XiaotianDeng, la simple aproximación at-the-money que mencionas no siempre se cumple: sólo funciona si asumes que $\alpha^2 T, \nu^2 T$ son pequeños, normalmente $o(1)$ . Quería añadir que realmente no hay necesidad de tal aproximación, excepto, posiblemente, para hacer cálculos en tu cabeza, o para entender la escala de $\alpha$ contra $\sigma_{atm}$ .

La volatilidad at-the-money es la solución de una ecuación cúbica, según su primera ecuación, y ésta puede resolverse exactamente mediante La fórmula de Cardano .

Por último, se trata realmente de la volatilidad ATM de la expansión SABR Hagan, que se utiliza en la práctica. La volatilidad ATM teórica real del modelo SABR puede diferir en el caso de grandes volúmenes de vol o/y vencimientos largos.