Elasticidad de la cuota de los factores

Question

Mi pregunta se refiere al ejercicio 2.4 del libro de Hal Varian Análisis microeconómico .

Tenga en cuenta que soy no solicitando una solución al ejercicio, y sólo preguntando cómo entender lo que se me pide aquí.

2.4. Dejemos que $f(x_1, x_2)$ sea una función de producción con dos factores y que $w_1$ y $w_2$ sean sus respectivos precios. Demuestre que la elasticidad de la cuota de los factores $(w_2 x_2 / w_1 x_1)$ con respecto a $(x_1 / x_2)$ viene dada por $1/\sigma - 1$ .

Aquí $\sigma$ se define antes como la elasticidad de sustitución $$\frac{\text{TRS}}{x_2 / x_1}\frac{d(x_2 / x_1)}{d \text{TRS}}$$

donde TRS es la tasa técnica de sustitución $\frac{-\partial f / \partial x_1}{\partial f / \partial x_2}$ .

El texto aún no ha definido la cuota de los factores ni su elasticidad, pero en general, interpreto la frase "la elasticidad de $A$ con respecto a $B$ " como refiriéndose a la cantidad $\frac{B}{A}\frac{dA}{dB}$ . No es difícil demostrar mediante la regla de la cadena que esta cantidad es igual a $d (\ln A) / d (\ln B)$ .

Utilizando la primera definición, tomo $A = w_2 x_2 / w_1 x_1$ y $B = x_1 / x_2$ . Entonces $A = \frac{w_2}{w_1}\frac{1}{B}$ y $$\frac{B}{A}\frac{dA}{dB} = \frac{B}{A}\frac{w_2}{w_1} \frac{-1}{B^2}= -1$$

Utilizando la segunda definición, obtengo el mismo resultado. Sabemos que $$\ln A = \ln (w_2 x_2 / w_1 x_1 ) = \ln (w_2 / w_1) - \ln (x_1 / x_2) = \text{const.} - \ln B$$ Diferenciando ambos lados con respecto al símbolo $\ln B$ produce $d (\ln A) / d (\ln B) = -1$ .

¿Están mis cálculos mal hechos o he entendido mal la pregunta?

Answer 1

Sus cálculos no son erróneos.

Para llegar a la solución correcta, no hay que tratar $(w_2/w_1)$ como una constante. Si $x_1/x_2$ cambia entonces los precios tendrán que cambiar para mantener las cuotas de los factores óptimas para un determinado nivel de producción (sé que la pregunta no es clara en este sentido).

Utilizar las condiciones de primer orden $\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{\partial f(x_1,x_2)/\partial x_2}{\partial f(x_1, x_2)/\partial x_1}= -\dfrac{1}{TRS}$ para sustituir a cabo.