Mi pregunta se refiere al ejercicio 2.4 del libro de Hal Varian Análisis microeconómico .
Tenga en cuenta que soy no solicitando una solución al ejercicio, y sólo preguntando cómo entender lo que se me pide aquí.
2.4. Dejemos que $f(x_1, x_2)$ sea una función de producción con dos factores y que $w_1$ y $w_2$ sean sus respectivos precios. Demuestre que la elasticidad de la cuota de los factores $(w_2 x_2 / w_1 x_1)$ con respecto a $(x_1 / x_2)$ viene dada por $1/\sigma - 1$ .
Aquí $\sigma$ se define antes como la elasticidad de sustitución $$\frac{\text{TRS}}{x_2 / x_1}\frac{d(x_2 / x_1)}{d \text{TRS}}$$
donde TRS es la tasa técnica de sustitución $\frac{-\partial f / \partial x_1}{\partial f / \partial x_2}$ .
El texto aún no ha definido la cuota de los factores ni su elasticidad, pero en general, interpreto la frase "la elasticidad de $A$ con respecto a $B$ " como refiriéndose a la cantidad $\frac{B}{A}\frac{dA}{dB}$ . No es difícil demostrar mediante la regla de la cadena que esta cantidad es igual a $d (\ln A) / d (\ln B)$ .
Utilizando la primera definición, tomo $A = w_2 x_2 / w_1 x_1$ y $B = x_1 / x_2$ . Entonces $A = \frac{w_2}{w_1}\frac{1}{B}$ y $$\frac{B}{A}\frac{dA}{dB} = \frac{B}{A}\frac{w_2}{w_1} \frac{-1}{B^2}= -1$$
Utilizando la segunda definición, obtengo el mismo resultado. Sabemos que $$\ln A = \ln (w_2 x_2 / w_1 x_1 ) = \ln (w_2 / w_1) - \ln (x_1 / x_2) = \text{const.} - \ln B $$ Diferenciando ambos lados con respecto al símbolo $\ln B$ produce $d (\ln A) / d (\ln B) = -1$ .
¿Están mis cálculos mal hechos o he entendido mal la pregunta?
