¿Depósito de efectivo en la cartera de réplica para la ecuación BS innecesario?

Question

El libro sobre métodos de valoración de opciones que estudio actualmente (Higham 2013) construye una cartera de réplica $\Pi = A(S,t)S + D(S,t)$ para derivar la EDP BS, donde $D$ es un depósito en efectivo. $D$ no aparece en la ecuación de Black-Scholes, ni es esencial en la derivación de la ecuación, así que ¿por qué molestarse en incluirlo en nuestra cartera?

Higham dice: "Queremos que la cartera se autofinancie, es decir, que más allá del tiempo t=0 no queramos añadir o quitar dinero. Esto puede lograrse utilizando la cuenta de efectivo para financiar la actualización $-$ el dinero necesario o generado por el reequilibrio de los activos". Entonces, ¿sólo utiliza $D$ ¿para dar una intuición extra?

Editar Por ejemplo; $\Pi=V-\Delta S$ es también una cartera válida para derivar la EDP de la BS.

Answer 1

El punto clave aquí es que la cartera debe ser autofinanciación La prima inicial de la opción $V_0$ debería ser suficiente para permitirte cubrirlo durante toda su vida. Si no, el precio de la opción $V_0$ es demasiado bajo o demasiado alto.

Debido a que la opción está escrita en el activo $S$ comprar o vender $S$ es la forma de neutralizar los cambios en el valor de la opción: por ejemplo, si estás largo en una opción de compra y necesitas cubrirla, sabes que su valor aumentará si el precio del activo aumenta, por lo que necesitas estar corto del activo en una cantidad $\Delta$ para neutralizar las ganancias que obtienes en $V$ cuando $S$ sube y viceversa.

Sin embargo, el valor de la tenencia de activos $\Delta S$ no siempre compensará perfectamente el valor de la opción $V$ . La cuenta de depósito $D$ le permite igualar las cosas: puede retirar o aportar si necesita modificar su participación $\Delta S$ para neutralizar los movimientos en $V$ .

Esto se debe a que las opciones son no lineal derivados: los derivados lineales, como los forwards, sólo necesitan que el activo subyacente esté cubierto porque un movimiento del precio del activo tiene un impacto lineal en el precio del derivado, sin embargo, en el caso de las opciones sabemos que el precio tiene un comportamiento no lineal ante cambios en el subyacente. Por ejemplo, si se está largo en una opción de compra se tiene: $$\lim_{S\rightarrow+\infty}\Delta(S)=1$$ Por lo tanto, si el precio del activo aumenta, necesitamos poder sacar dinero de un depósito para seguir aumentando nuestra asignación $\Delta$ con el fin de cubrir $V$ .

Hay múltiples formas de expresar la cartera de cobertura, pero todas ellas pueden reducirse a una ecuación de la forma $$a(t,S)V+b(t,S)S+c(t,S)D=0$$ A saber, una posición $a(t,S)$ en una opción $V$ debe cubrirse con el activo $S$ que se compra o se vende en una cantidad $b(t,S)$ cualquier financiación adicional que se requiera $c(t,S)$ debe ser prestado a un tipo de interés $r$ .

Por último, hay que tener en cuenta que la cartera $V-(\Delta S+D)=0$ que mencionas en tu edición produce la PDE correcta pero no se autofinancia Ver mi respuesta Cobertura delta dinámica y cartera autofinanciada . De hecho, supongamos que en algún momento $t$ se le pide que cambie su asignación $\Delta$ ¿De dónde sale el dinero? Es necesario tener un coeficiente asignado a $D$ para que cualquier retirada/contribución al depósito compense cualquier cambio en la asignación del activo:

$$V-\big(b(t,S)S+c(t,S)D\big)=0$$