fórmula de expectativa condicional de impago en el CVA

Question

Esta es la fórmula de CVA en la página 74 del libro Modern Derivatives Pricing and Credit Exposure Analysis .

Aquí $t_0 = t<t_1<\cdots<t_n = T;$ $\tau$ es el predeterminado; $X(t)$ es cualquier valor.

No entiendo muy bien cómo se obtiene la segunda ecuación: $$E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}X(t_{i-1})|\mathcal{F}_t] = E^Q\Big[E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}]X(t_{i-1})|\mathcal{F}_t\Big]$$ Insinúa que

Esto es posible para las expectativas que contienen $X(t_i)$ y $X(t_{i1})$ ya que ambos son $\mathcal{F}(t_i)$ -medible; aplicar la ley de la torre de las expectativas condicionales.

¿Significa eso que $$E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}X(t_{i-1})|\mathcal{F}_t] = E^Q\Big[E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}X(t_{i-1})|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]|\mathcal{F}_t\Big]=E^Q\Big[E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]X(t_{i-1})|\mathcal{F}_t\Big].$$

Pero cómo convertir $E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}|\mathcal{F}_{t_{i-1}}]$ a $E^Q[\mathbb{1}_{\tau>t_i}]?$

Answer 1

Tenga en cuenta que, para cualquier $u > 0$ , $$\begin{align*} E^Q(1_{\tau > u} \mid \mathscr{F}_u) = e^{-\int_0^u \lambda(s)ds}. \end{align*}$$ Por ejemplo, dado $\lambda$ podemos definir la hora por defecto $\tau$ como $$\begin{align*} \tau = \inf\left\{t \in \mathbb{R}_+: e^{-\int_0^t \lambda_s ds} \le \xi \right\}, \end{align*}$$ donde $\xi$ es independiente de $\mathscr{F}_{\infty}$ y se distribuye uniformemente sobre $(0, 1)$ .

Entonces $$\begin{align*} E^Q\left(1_{\tau>t_i} X(t_{i-1}) \mid \mathscr{F}_t \right) &= E^Q\left(X(t_{i-1})E^Q(1_{\tau>t_i} \mid \mathscr{F}_{t_i}\big) \mid \mathscr{F}_t \right)\\ &=E^Q\left(X(t_{i-1}) e^{-\int_0^{t_i} \lambda(s)ds} \mid \mathscr{F}_t \right). \end{align*}$$ De la misma manera, $$\begin{align*} E^Q\left(1_{\tau>t_i} X(t_i) \mid \mathscr{F}_t \right) &= E^Q\left(X(t_i)E^Q(1_{\tau>t_i} \mid \mathscr{F}_{t_i}\big) \mid \mathscr{F}_t \right)\\ &=E^Q\left(X(t_i) e^{-\int_0^{t_i} \lambda(s)ds} \mid \mathscr{F}_t \right). \end{align*}$$