¿Qué significa "las variables dependientes e independientes sólo varían en el ( $g,t$ ) significa?

Question

De Chaisemartin y D'Haultfoeuille 2020, p.2969

Vi una ecuación

$D_{g,t}$ $=$ $\alpha$ + $\gamma_g$ + $\delta_t$ + $\epsilon_{g,t}$

$D_{g,t}$ es el tratamiento en el grupo $g$ en el período $t$

Dijeron que

$\epsilon_{g,t}$ surge de una regresión a nivel de unidad, donde las variables dependientes e independientes sólo varían en el ( $g,t$ ). Por lo tanto, todas las unidades del mismo ( $g,t$ ) tienen el mismo valor de $\epsilon_{g,t}$

¿Qué significa? donde las variables dependientes e independientes sólo varían en el ( $g,t$ ) nivel " y por qué " todas las unidades en el mismo ( $g,t$ ) tienen el mismo valor de $\epsilon_{g,t}$ "

Answer 1

Considere una regresión: $$ y_{i,g,t} = \alpha + \beta x_{i,g,t} + \varepsilon_{i,g,t}. $$ donde $i$ es la observación, $g$ es el grupo y $t$ es el tiempo.

¿Qué significa "cuando las variables dependientes e independientes sólo varían en el nivel (g,t)"?

Esto significa que si tomo dos observaciones $i$ y $j$ que pertenecen al mismo grupo y al mismo tiempo (es decir, al mismo $(g,t)$ célula), entonces: $$ y_{i,g,t} = y_{j,g,t} \tag{1} $$ y $$ x_{i,g,t} = x_{j,g,t} \tag{2} $$

por qué "todas las unidades en la misma celda (g,t) tienen el mismo valor de $ \varepsilon_ {g,t}"

Por definición: $$ \varepsilon_{i,g,t} = y_{i,g,t} - \alpha - \beta x_{i,g,t}. $$ Entonces, si tomamos dos observaciones $i$ y $j$ y utilizar $(1)$ y $(2$ ), obtenemos: $$ \varepsilon_{i,g,t} = \varepsilon_{j,g,t}. $$ Así que el error es el mismo dentro de cada $(g,t)$ celda.