necesitan ayuda de los teóricos: prueba en Cole, Mailath y Postlewaite (2001)

Question

Tengo una duda en la prueba de la sección 4.1. de Cole, Mailath y Postlewaite (2001). $$\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{2\varepsilon}\int_{\overline{l}-\varepsilon}^{\overline{l}+\varepsilon} v(\beta(i) + \delta, \sigma(i+\beta^{-1}(\beta(i) +\delta) - \overline{l}-\varepsilon))-v(\beta(i), s(i))di$$

Dicen que el límite anterior es igual a : $$v(\beta(\overline{l}+\delta, \sigma(\tilde{l}))-v(\beta(\overline{l}, s(\overline{l})),$$ para $\tilde{l} = \beta^{-1}(\beta(\overline{l})+\delta).$

No estoy seguro de cómo hacen esto. Creo que si $\varepsilon \to 0$ el término dentro de la integral va a 0. Pero, la respuesta que nos dan es sustituir $\overline{l}$ para $i$ en la integral. Te agradezco si me das alguna ayuda para resolver esto.

Answer 1

Esto puede lograrse con La regla de L'Hopital que dice $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

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El resultado de Cole, Mailath y Postlewaite es bastante general y no es especial para las funciones particulares de su integrando.

Dejemos que $$f(\epsilon)=\int_{l-\epsilon}^{l+\epsilon}h(x,\epsilon)dx \iff f'(\epsilon)=h(l-\epsilon,\epsilon)+h(l+\epsilon,\epsilon)+\int_{l-\epsilon}^{l+\epsilon}\frac{\partial h(x,\epsilon)}{\partial \epsilon}dx$$

y $$g(\epsilon)=2\epsilon\iff g'(\epsilon)=2.$$

Entonces, usando la regla de L'Hopital: $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(\epsilon)}{g(\epsilon)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f'(\epsilon)}{g'(\epsilon)}=\frac{h(l,0)+h(l,0)}{2}=h(l,0).$$

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Unas últimas palabras sobre la "intuición". Usted razona, correctamente, que la integral va a cero con $\epsilon$ . Pero el problema es que el denominador, $2\epsilon$ también llega a cero. Por lo tanto, para saber qué hace la expresión global como $\epsilon$ se aproxima a cero, necesitamos saber si el numerador o el denominador se aproxima a cero más rápidamente. En otras palabras, para $\epsilon\rightarrow0$ ¿estamos dividiendo un número pequeño entre un número muy pequeño, o estamos dividiendo un número muy pequeño entre un número pequeño? Esta es, a grandes rasgos, la lógica de la regla de L'Hopital.