Problema de la condición de deriva de HJM: Demuestre que la condición de deriva de HJM implica $b(t) \equiv b, \rho^{2}(t) \equiv a$

Question

Necesito su ayuda para entender y resolver el marco HJM. Espero que me ayuden, ya que me siento muy perdido con el HJM y el aprendizaje en línea debido a la pandemia está añadiendo más estrés. De todos modos este es el problema:

Problema

Una evolución de la curva de avance HJM por desplazamientos paralelos es entonces de la forma $$ f(t, T)=h(T-t)+Z(t) $$ \begin{aligned} &\text { for some deterministic initial curve } f(0, T)=h(T) \text { and some Itô process } d Z(t)=\\ &b(t) d t+\rho(t) d W^*(t) \text { with } Z(0)=0 \end{aligned}

Demuestre que la condición de deriva de HJM implica $b(t) \equiv b, \rho^{2}(t) \equiv a$ y $$ h(x)=-\frac{a}{2} x^{2}+b x+c $$ para algunas constantes $a \geq 0$ y $b, c \in \mathbb{R}$ .

Mi intento:

Tomamos la derivada de $f(t,T)$

$$d f((t, T))=\left(-h^{\prime}(T-t)+b(t)\right) d t+\rho(t) d w^{*}(t)$$

La dinámica Q de los tipos de interés a plazo del marco HJM tiene la forma de:

$$f(t, T)=f(0, T)+\int_{0}^{t}\left(\sigma(s, T) \int_{S}^{T} \sigma(s, u) d u\right) d s+\int_{0}^{t} \sigma(s, T) d u_{t}^{*}$$

$$d f(t, T)=\sigma(t, T) \int_{t}^{T} \sigma(t, u) d u+\sigma\left(s, T\right) d \omega_{t}^{*}$$

De ahí que la deriva de HJM sea igual:

$$d f(t, T)=\rho(t) \int_{t}^{T} \rho(t) d u$$

$$d f(t, T)=\rho^{2}(t)(T-t)$$

Configuración $x = T- t$ nos encontramos con que:

$\rho^{2}(t) x=-h(x)+b(t)$ <- no estoy seguro de esta parte.

Tomando la derivada con respecto a $x$ en ambos lados obtenemos:

$$\rho^{2}(t)=-h^{\prime \prime}(x)$$

Configuración $x = 0$ que tenemos:

$$\rho^{2}(t)=-h^{\prime \prime}(0)=a $$

Ahora para demostrar que $$b(t) \equiv b$ Sabemos que $\rho^{2} = a$ que es una constante por lo tanto:

$$a \cdot x=-h(x)+b(t)$$

Configuración $x = 0$ obtenemos: $b(t)=h(0)=b$ .

No estoy seguro de cómo mostrar esta parte: $h(x)=-\frac{a}{2} x^{2}+b x+c$ .

Answer 1

Arreglando de nuevo algunas erratas tuyas, sabemos que en HJM bajo la medida neutral de riesgo $$ f(t, T)=f(0, T)+\int_0^t\left(\sigma(s, T) \int_s^T \sigma(s, u) \,du\right)\,ds+\int_0^t \sigma(s,T)\,dW_t^* $$ siempre se mantiene. Esto implica $$ h(T-t)+\int_0^tb(s)\,ds=f(0,T)+\int_0^t\left(\sigma(s, T) \int_s^T \sigma(s, u) \,du\right)\,ds\,. $$ Tomando la derivada respecto a $t$ da $$ -h'(T-t)+b(t)=\sigma(t,T)\int_t^T\sigma(t,u)\,du\,. $$ Utilizando $\sigma(t,T)=\rho(t)$ da $$ -h'(T-t)+b(t)=\rho^2(t)\,(T-t)\,. $$ Escribir $x=T-t$ da $$ -h'(x)+b(t)=\rho^2(t)\,x\,,\quad\quad x,t\ge 0\,.\quad\quad\quad(1) $$ Esto implica las dos identidades: $$ h(x)=-\rho^2(t)\frac{x^2}{2}+b(t)\,x+c\,, $$ y $$ -h''(x)=\rho^2(t)\,. $$ De ello se desprende que $\rho$ no puede depender de $t$ (debe ser constante). De (1) se deduce ahora también que $b$ debe ser constante.