Aproximación por series de Taylor en torno al estado estacionario en Solow

Question

En mi macro avanzada script, el profesor dice que tome TSA1 de la siguiente ecuación:

$(1+g)(1+n)k_{t+1} = sk^\alpha_{t+1} + (1-\delta)k_t$

donde $g$ es el progreso tecnológico, $n$ el crecimiento de la población, $k$ capital por mano de obra efectiva (AL).

En la clase trabajamos con tiempo discreto. Los resultados no parecen tener sentido para mí - ¿podría alguien guiarme cómo tomar la TSA en este caso particular?

El $k_{t+1}$ significa el subíndice y, por tanto, el capital por AL en el momento $t+1$ .

EDIT: TSA en torno al estado estacionario.

Muchas gracias.

Answer 1

El valor en estado estacionario $k^*$ debe ser un punto fijo :

$(1+g)(1+n)k^* = s(k^*)^{\alpha} +(1 - \delta) k^*$

Tomando la diferencia entre esta ecuación y la dinámica :

$(1+g)(1+n)(k_{t+1} - k^*) = s((k_{t+1})^{\alpha} - (k^*)^{\alpha}) +(1 - \delta) (k_t - k^*)$

Ahora bien, si se denota por $d_t = k_t - k^*$ la distancia al estado estacionario, esto da :

$(1+g)(1+n)d_{t+1} = s((k_{t+1})^{\alpha} - (k^*)^{\alpha}) +(1 - \delta) d_t$

Pero..:

$(k_{t+1})^{\alpha} = (k^* + d_{t+1})^\alpha = (k^*)^\alpha + \alpha d_{t+1} (k^*)^{\alpha - 1} + o (d_{t+1})$

(Aquí estaba el desarrollo de Taylor.) De modo que, finalmente, esta igualdad se mantiene aproximadamente en torno al estado estacionario ( $d_t$ pequeño):

$(1+g)(1+n)d_{t+1} = \alpha s (k^*)^{\alpha - 1} d_{t+1} +(1 - \delta) d_t$

A partir de la condición de estado estacionario también se puede calcular (suponiendo que $ng << n+g$ ):

$(k^*)^{\alpha -1} = \frac{n+g+\delta}{s}$