¿Cómo encontrar el equilibrio del mercado por medio de la maximización del excedente cuando hay un descenso de los consumidores?

Question

Supongamos un mercado con funciones lineales de demanda y oferta, digamos $Q_d = 20 - 4p$ y $Q_s = -4 +8p$ respectivamente.

Podemos encontrar fácilmente el equilibrio del mercado fijando $Q_d = Q_s$ (o $P_d = P_d$ en las funciones inversas de demanda y oferta) o maximizando el excedente total, como se hace en la siguiente captura de pantalla:

Ahora podemos añadir un subsidio a los consumidores, digamos 2 unidades monetarias/unidades de cantidad, y el resultado es el desplazamiento hacia arriba de la curva de demanda, de modo que el nuevo equilibrio puede obtenerse fácilmente fijando, por ejemplo, los precios iguales en la nueva curva de demanda aparente $Q_dsub = 28-4p$ y la curva de oferta, y encontramos la cantidad de equilibrio con subside $Q^{*sub} = 52/3$ El precio de los productos se reducirá para los productores. $P^{*sub}_{S} = 8/3$ y el precio equivalente para los consumidores con subvenciones $P^{*sub}_{D} = 2/3$

El problema es que si intento obtener esos resultados mediante la maximización del excedente total como antes, obtengo:

$$TotalSurplus = - \frac{3}{16}Q^2+\frac{9}{2}Q + P^{*sub}_{S} * Q^{*sub} - P^{*sub}_{D} * Q^{*sub}$$

Cuando cuento con $P^{*sub}_{S} = P^{*sub}_{D} + 2$ obtengo:

$$TotalSurplus = - \frac{3}{16}Q^2+\frac{9}{2}Q + 2 * Q^{*sub}$$

Y aquí no sé cómo continuar, ya que el punto de equilibrio no se cancela más.

Answer 1

Nunca trabajar los fines de semana :-)

Lo que realmente se hace aquí es encontrar el excedente total en términos de $Q*$ y luego maximizarlo fijando la derivada en $Q*$ igual a cero. Por lo tanto, sólo hay que maximizar $$TotalSurplus = - \frac{3}{16}Q^{*2}+\frac{9}{2}Q^{*} + 2 * Q^{*}$$ para $Q*$ y se obtienen los resultados esperados.