¿Por qué las probabilidades neutrales al riesgo deben ser estrictamente mayores que cero para la condición de no arbitraje?

Question

Hace poco un colega me dijo que las probabilidades neutrales al riesgo deberían ser SIEMPRE mayores que cero para tener una condición de no arbitraje. Intuitivamente, sabemos que las probabilidades no pueden ser < 0, pero ¿cómo podemos demostrar que también necesitamos que sean > 0?

Supongo que si esto es correcto, también se aplica a los árboles de trinomios y n-nomios. ¿Puede alguien aclararlo?

Answer 1

Hay una condición bajo la cual la probabilidad neutral al riesgo de un evento puede ser cero: si la probabilidad en el mundo real es cero. Si no lo es, entonces cualquier contrato que se paga en ese evento debe bajar de precio si el contrato se modifica para no pagar o pagar menos en ese evento. De lo contrario, se puede comprar uno y vender el otro... es un arbitraje en el sentido de "billete de lotería gratis", en el que se obtiene una probabilidad no nula de un pago gratis. Esto se traduce en la probabilidad neutral al riesgo de que el evento sea positivo.

Answer 2

Para el modelo binomial con factor ascendente $u$ , factor de bajada $d$ y el tipo de interés $r$ es decir, si un valor en el momento $t = n$ vale la pena $S_n$ , entonces en el momento $t = n + 1$ , $S_{n+1} = uS_n$ con probabilidad $p$ y $S_{n+1} = dS_n$ con probabilidad $q$ ; del mismo modo, si $X$ se deja en el banco a $t = n$ , entonces en $t = n + 1$ la cuenta contendrá $(1 + r)X$ . Recordemos las probabilidades neutrales al riesgo para el modelo binomial: $$\tilde{p} = \frac{(1 + r) - d}{u - d}, \ \tilde{q} = \frac{u - (1 + r)}{u - d}$$ Recuerde también la condición de no arbitraje para este modelo: $$d < 1 + r < u$$ Esta condición implica que nuestras probabilidades neutrales al riesgo $\tilde{p} > 0$ y $\tilde{q} > 0$ . Para responder a su primera pregunta, demostramos que las probabilidades neutrales al riesgo deben ser $> 0$ demostrando que el arbitraje es posible si no es así. Supongamos que $1 + r < d < u$ y estamos en el tiempo $t = n$ . Esto implica que $\tilde{p} < 0$ . Nuestra estrategia será:

1. Pedir prestado $S_n$ del banco
2. Comprar una acción

En el momento $t = n + 1$ debemos $(1+r)S_n$ al banco. Nuestra posición en acciones vale $uS_n > (1 + r)S_n$ o $dS_n > (1 + r)S_n$ . A continuación, vendemos las acciones y cubrimos lo que debemos al banco, lo que nos deja con una cantidad no nula de capital final cuando invertimos $0$ . Se trata de una estrategia de arbitraje. Se puede utilizar una estrategia similar cuando $d < u < 1 + r$ , es decir, acciones cortas e invertir en el banco.