Estoy tratando de entender el documento seminal de Becker Crimen y castigo (1968) en particular el parámetro del coste de la aprehensión y la condena y sus derivadas parciales de segundo orden.
El documento establece que los costes de las distintas actividades a aprehender vienen dados por la función $C = C(A)$ donde $C' = \frac{dC}{dA}$ y que las actividades pueden ser aproximadas por la tasa de liquidación $(p)$ y número de infracciones $(O)$ mediante la fórmula $A pO$
Ahora, diferenciando parcialmente una vez con respecto a cada $(p)$ y $(O)$ da lo siguiente
$$C_p=\frac{C(pO)}{p} = C'O \quad \textrm{and;} \quad C_O = C'p \quad \textrm{respectively} \quad$$
Becker dice entonces que si $pO 0$ entonces un aumento de la probabilidad de condena o del número de delitos aumentaría los costes totales. Aquí es donde empieza mi confusión, cuando habla del coste marginal del aumento de la actividad dado por la diferenciación de segundo orden donde:
$$C_{pp}= C''O^2;\\ C_{OO}= C''p^2\\ C_{pO}=C_{Op}= C''pO + C'$$
En pocas palabras, ¿por qué se añade un $C'$ para los resultados de la diferenciación parcial cruzada? He revisado mis libros de cálculo y he intentado averiguar la aplicación de la regla de la cadena, pero sin éxito.
