Regla de la mayoría y pico único

Question

La regla de la mayoría inducirá un conjunto de opciones no vacío si las preferencias individuales son de única cima

¿Es cierta esta afirmación? Tengo dificultades para entender el significado de 'única cima' en el contexto de esta afirmación. ¿Significa el conjunto de opciones aquí que necesitamos encontrar, digamos, la alternativa favorita entre las dadas? Entiendo que la votación mayoritaria está plagada de intransitividad. ¿Qué significa el conjunto de opciones 'no vacío'?

Lo que entiendo es que para alternativas de única cima, el individuo tiene una alternativa particular de su elección y las alternativas que están lejos de la cima serían preferidas menos. Mis conceptos parecen ser bastante endebles. Por favor, ten paciencia conmigo.

Answer 1

Supongamos que A = {a,b,c,....,z} es un conjunto finito de alternativas sociales, y sea P\={>₁,>₂,....,>_N} un perfil de órdenes de preferencia estrictas en $A$ (donde el conjunto {1,2,...,N} indexa a los votantes). Decimos que el perfil P es unimodal si hay alguna manera de ordenar las alternativas en A (por ejemplo, en orden alfabético) de manera que, para cada una de las órdenes de preferencia >_n en P, existe un "punto ideal" (digamos, h) tal que

a<_n b <_n c <_n ... <_n g <_n h >_n i >_n j >_n .... >_n y >_n z.

Observa que la condición no impone ninguna preferencia particular entre, por ejemplo, g e i, o de hecho entre cualquier elemento de {a,b,...,g} y cualquier elemento de {i,j,..,z}. También observa que diferentes votantes podrían tener diferentes puntos ideales. (Así que el votante n tiene punto ideal h en el ejemplo anterior, pero tal vez el votante m tiene punto ideal d....) Observa también que la pregunta aquí no es si una única orden de preferencia >_n es "unimodal" ---la pregunta es si todo el perfil P es unimodal, lo que significa que podemos encontrar una única ordenación de A tal que todas las preferencias en P sean unimodales con respecto a esta ordenación. (En el ejemplo anterior, utilicé el orden alfabético, pero eso fue solo por simplicidad. La pregunta es solamente si algún orden existe.)

¿Por qué es útil esta condición? Supongamos que intentas construir una orden de preferencia social >₀ determinando la comparación entre cada par de alternativas a través de una votación por mayoría simple (como recomienda Condorcet). Entonces, por ejemplo, para las alternativas b y g, estipularemos que b >₀ g si y solo si b >_n g para una mayoría de votantes {1,2,...,N}. (Para simplificar, supongamos que N es impar, para que la votación por mayoría nunca resulte en un empate.) Sabemos que en general, este método no resulta en una relación de preferencia transitiva. (Esto es Paradoja de Condorcet.) Sin embargo, si el perfil P es unimodal, entonces este método de "votación por mayoría en pares" siempre da como resultado una orden de preferencia social transitiva. (Esto fue descubierto por Duncan Black.) Además, el elemento "maximal" de la orden de preferencia social resultante es la mediana de los puntos ideales de los votantes. (Este es el famoso Teorema del votante mediano.)

En resumen, si el perfil P es unimodal, entonces no solo la regla de la mayoría induce un conjunto de elección no vacío (como dijiste), sino que este conjunto de elección está racionalizado por una orden de preferencia social completa y transitiva (obtenida por votaciones por mayoría en pares), y además podemos decir exactamente cuál es el conjunto de elección (es la mediana de los puntos ideales de los votantes).