Encontrar el equilibrio perfecto del subjuego

Question

La parte principal de la pregunta es la siguiente

(si no puede leer esto, puedo escribirlo inmediatamente)

Mi pregunta es cómo encontrar el equilibrio de Nash subjuego perfecto para los dos casos $\bar{g_2}\ge \bar{g_1}$ y $\bar{g_2}< \bar{g_1}$

Mi intento es

Para la empresa 2

$$max [f_2(G)-c_2(g_2)]$$ $$max [\beta ln(g_1+g_2)-g_2]$$

Por FOCs

$$\beta / (g_1+g_2)- 1=0$$

$$g_2=\beta -g_1$$

Para la empresa 1

$$max [f_2(G)-c_2(g_2)]$$ $$max [\theta ln(g_1+\beta -g_1)-g_1]$$

No puedo obtener FOC con respecto a $g_1$

En este punto estoy atascado. ¿Cómo puedo proceder con esta solución?

Y tengo otra pregunta

Para la misma pregunta, asumo la siguiente parte

De nuevo necesito encontrar el equilibrio de Nash subjuego perfecto de este juego en el que el jugador 1 contribuye con una cantidad positiva de bien público

Lo siento pero no pude esta parte completamente. Cualquier ayuda será apreciada.

Como no podía entender ese tipo de preguntas para el SPE, pedí mucho tiempo. Gracias.

Answer 1

Nota, hay un error en FOC---debería ser $$\beta/(g_1+g_2) - 1 =0,$$ por lo que la función de respuesta de la empresa $2$ es $$g_2 = \beta - g_1.$$

Esto significa que un aumento unitario de un bien público aportado por la empresa $1$ causa firme $2$ para disminuir su contribución en la misma unidad. Entonces, observe que la empresa $1$ que anticipa correctamente esa respuesta (óptima) de la empresa $2$ es mejor que no aporte nada (pista: $g_1$ sólo afecta a $C(g_1)$ hasta $g_1 \in [0,\beta]$ ).

Supongo que puedes partir de aquí para resolver la segunda parte

Answer 2

Primero verifique que $\overline{g}_1 = \theta$ y $\overline{g}_2 = \beta$ . Ahora encontraremos el equilibrio perfecto del subjuego para todos los valores posibles de $(\theta, \beta)$ Satisfaciendo a $\theta > \beta> 1$ .

Para ello, primero maximizamos el pago del jugador 2 con respecto a su contribución, tomando en cuenta la contribución del jugador 1: \begin{eqnarray*} \max_{g_2 \geq 0} & \ \beta\ln (g_1+g_2)- g_2 \end{eqnarray*}

y obtenemos la mejor estrategia de respuesta del jugador 2 en función de la contribución del jugador 1:

\begin{eqnarray*} g_2 = \max(\beta - g_1, 0) \end{eqnarray*}

A continuación, resuelva el problema de maximización de los beneficios del jugador 1 tomando como dada la estrategia del jugador 2

\begin{eqnarray*} \max_{g_1 \geq 0} & \ \theta\ln (g_1+g_2)- g_1 \\ \text{s.t.} & \ g_2 = \max(\beta - g_1, 0)\end{eqnarray*}

y obtenemos \begin{eqnarray*} g_1^* = \begin{cases} 0 & \text{if } \theta < e\beta \\ \theta & \text{if } \theta \geq e\beta\end{cases} \end{eqnarray*}

En consecuencia, la contribución del jugador 2 en un resultado subjuego perfecto es \begin{eqnarray*} g_2^* = \begin{cases} \beta & \text{if } \theta < e\beta \\ 0 & \text{if } \theta \geq e\beta\end{cases} \end{eqnarray*}

Para el siguiente, el coste del jugador 2 es \begin{eqnarray*} c_2(g_2) = \begin{cases} g_2 & \text{if } g_1 \geq \overline{g}_1 = \theta \\ \lambda g_2 & \text{if } g_1 < \overline{g}_1 = \theta\end{cases} \end{eqnarray*}

Primero verifique que en este caso $\overline{g}_1 = \theta$ y $\overline{g}_2 = \dfrac{\beta}{\lambda}$ . Ahora encontraremos el equilibrio perfecto del subjuego para todos los valores posibles de $(\theta, \beta, \lambda)$ Satisfaciendo a $1 <\theta \leq \dfrac{\beta}{\lambda} < \beta$ .

Para ello, primero maximizamos el pago del jugador 2 con respecto a su contribución, tomando en cuenta la contribución del jugador 1: \begin{eqnarray*} \max_{g_2 \geq 0} & \ \beta\ln (g_1+g_2)- c_2(g_2) \end{eqnarray*}

y obtenemos la mejor estrategia de respuesta del jugador 2 en función de la contribución del jugador 1:

\begin{eqnarray*} g_2 = \begin{cases} \dfrac{\beta}{\lambda} - g_1 & \text{if } g_1 < \overline{g}_1 = \theta \\ \max\left({\beta} - g_1, 0\right) & \text{if } g_1 \geq \overline{g}_1 = \theta \end{cases} \end{eqnarray*}

A continuación, resuelva el problema de maximización de los beneficios del jugador 1 tomando como dada la estrategia del jugador 2 \begin{eqnarray*} \max_{g_1 \geq 0} & \ \theta\ln (g_1+g_2)- g_1 \\ \text{s.t.} & \ g_2 = \begin{cases} \dfrac{\beta}{\lambda} - g_1 & \text{if } g_1 < \overline{g}_1 = \theta \\ \max\left({\beta} - g_1, 0\right) & \text{if } g_1 \geq \overline{g}_1 = \theta \end{cases}\end{eqnarray*}

y obtenemos \begin{eqnarray*} g_1^* = \begin{cases} 0 & \text{if } \lambda < e \\ \theta & \text{if } \lambda \geq e\end{cases} \end{eqnarray*}

En consecuencia, la contribución del jugador 2 en un resultado subjuego perfecto es \begin{eqnarray*} g_2^* = \begin{cases} \dfrac{\beta}{\lambda} & \text{if } \lambda < e \\ \beta - \theta & \text{if } \lambda \geq e\end{cases} \end{eqnarray*}