Preguntas fundamentales sobre el CAPM

Question

Un par de preguntas sobre el modelo CAPM:

1. Si solo conozco la tasa libre de riesgo y el rendimiento esperado del mercado, ¿cómo resuelvo para $\beta$ ?

2. Dada la varianza de la acción, ¿cómo resuelvo el porcentaje de ésta que se debe al riesgo de mercado y cómo interpreto esto?

Busqué esta pregunta en google, pero no puedo encontrar una respuesta razonable. ¡Por favor, ayúdame! Gracias de antemano por tu ayuda.

Answer 1

Porque tienes CAPM, por lo tanto, lo siguiente se cumple:

$$r_i = r_f + \beta_i (r_M - r_f) + \epsilon_i$$

donde $r_i$ es el rendimiento esperado de la acción $i$, $r_f$ es el rendimiento sin riesgo y $r_M$ es el rendimiento esperado del mercado, y $\epsilon$ es un ajuste de rendimiento idiosincrático o un error.

Ahora, si aplicas el operador $\text{Var}[\cdot]$ sobre la ecuación anterior, deberías obtener.

$$\begin{split} \text{Var}[r_i] & =\text{Var} \left [ r_f + \beta_i (r_M - r_f) + \epsilon_i \right ] \\ & = \text{Var}[r_f] + \beta_i^2 \text{Var} [r_M - r_f] + \text{Var} [\epsilon_i] \\ & = 0 + \beta_i^2 \text{Var} [r_M] + \text{Var} [\epsilon_i] \\ & = \beta_i^2 \text{Var} [r_M] + \text{Var} [\epsilon_i] \end{split}$$

Esta es la relación que estás buscando, es una descomposición de la varianza. (Nota que no hay términos de covarianza según la suposición de CAPM). Te dice que la varianza del rendimiento de tu acción es doble. Primero, proviene del riesgo sistemático que asumes del riesgo de mercado, es decir, $\beta_i^2 \text{Var} [r_M]$. Segundo, cada acción tiene su propio riesgo idiosincrático, que es $\text{Var} [\epsilon_i].

Ahora, en este problema tienes $\beta_i$, $\text{Var} [r_M]$ y $\text{Var}[r_i]$ dados. ¿Qué porcentaje de esta varianza se debe al riesgo de mercado? Eso es simplemente

$$\frac{\beta_i^2 \text{Var} [r_M]}{\text{Var}[r_i]}$$

Ahora, si deseas ser aún más conveniente. Puedes reescribir la relación anterior como

$$\frac{\beta_i^2 \text{Var} [r_M]}{\text{Var}[r_i]} = \frac{\text{Cov}^2[r_i,r_M]}{\text{Var} [r_M] \text{Var} [r_i]} = \rho_i^2$$

Esto es porque

$$\beta_i = \frac{\text{Cov}[r_i,r_M]}{\text{Var} [r_M]}$$

Answer 2

No estoy seguro de entender correctamente la primera pregunta, pero si es así: también tienes que conocer el rendimiento de las acciones. En este caso, la respuesta es trivial: $\beta = (r_i - r_f) / (r_m - r_f)$

Acerca de la segunda pregunta:

Analíticamente hablando, la respuesta de Kenneth Chen es correcta, pero permíteme agregar que esta representación es válida en el caso del Modelo de Índice Único y no necesariamente en el CAPM. En el contexto del CAPM, estrictamente hablando, no hay una manera de responder tu pregunta porque el CAPM no dice lo suficiente sobre los segundos momentos. Mira aquí Diferencia entre CAPM y modelo de índice único

Answer 3

Pista:

Escribe el rendimiento de la acción B como

$R_B=\beta R_M + e$

donde $e$ es no correlacionado con $R_M$. Encuentra una fórmula para su varianza y sustituye todos los términos que conoces.