Supongamos que tenemos un principal con aversión al riesgo y un agente con aversión al riesgo con funciones de utilidad $v(q_i - w_i)$ y $u(w_i)$ respectivamente, donde $i = \{H,L\}$ y $q$ es la salida y $w$ es el salario. La probabilidad de que la producción sea alta viene dada por $p(e)$ con $p'(e) > 0 \geq p''(e)$ y el esfuerzo viene dado por la función lineal $e$ . ¿Cómo se demuestra que en el caso del segundo mejor, el agente recibe una mayor (menor) parte de los beneficios cuando la producción es alta (baja) en relación con el caso del primer mejor? Bolton y Dewatripont (2005) mencionan este resultado pero no lo demuestran.
Respuesta
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jplindstrom
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Principal: $\max_{w_h,w_l,e}p(e)v(q_h-w_h)+(1-p(e))v(q_l-w_l) $ con sujeción a
(IR) $~p(e)u(w_h-c(e))+(1-p(e))u(w_l-c(e))\geq \bar u$
(IC) $~~e\in arg\max_{\tilde e}p(e)u(w_h-c(e))+(1-p(e))u(w_l-c(e))$
Sustituir el CI por el enfoque FOC:
(IC')) $~~p'(e)u(w_h-c(e))+p(e)u'(w_h-c(e))(-c'(e))-p'(e)u(w_l-c(e))+(1-p(e))u'(w_l-c(e))(-c'(e))=0$
Ahora considere el foco del director wrt $w_h$ :
$p(e)v'(q_h-w_h)(-1)+\lambda(p(e)u'(w_h-c(e))+\mu [p'(e)u'(w_h-c(e))+p(e)u''(w_h-c(e))(-c'(e))]=0$
Así que la diferencia entre este y el primer mejor es ese tercer término en el BDC. Usando las suposiciones estándar, sabemos que ese tercer término es positivo y así:
$v'(q_h-w_h)_{first best}<v'(q_h-w_h)_{second best}$
Ahora v es cóncavo y (suponiendo que existe la inversa):
$q^f_h-w^f_h>q^s_h-w^s_h$
Así, el diferencial disminuye,
