¿Cómo probar que una función generalizada es cuasicóncava?

Question

Tengo una pregunta que se me ha pedido resolver:

Dados que $(a_1, a_2,...,a_n)\in R_{++}^n$ y $(x_1, x_2,...,x_n)\in R_{++}^n$, y $A>0, \mu >0, p \neq 0$, si hay una función $f(x)=A(a_1x_1^p+a_2x_2^p+...+a_nx_n^p)^\frac{\mu}{p} \space \space \forall x \in R_{++}^n$, mostrar que la función $f$ es una función cuasicóncava sobre $R_{++}^n$ cuando $p \in (0,1]$.

Entiendo que para mostrar que una función es cuasicóncava, necesita cumplir con esta definición:

$f:_+^$ es cuasicóncava en $_+^$ si y solo si $,_+^$ y para todo $\in(0,1)$

$f(+(1))\{f(),f()\}$

Me pregunto cómo podría utilizar esta definición para mostrar que una función generalizada $f$ es cuasicóncava, o si debería abordar esto desde otro concepto/definición.

Answer 1

Ten en cuenta primero que la función $r\mapsto A(r)^{\mu/p}$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}_+$. Cuando buscas el mínimo en la definición de cuasicóncavo, puedes ignorar esta parte y basta con mostrar que la función $$(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto a_1x_1^p+a_2x_2^p+...+a_nx_n^p$$ es cuasicóncava. De hecho, la función es incluso cóncava. La suma de funciones cóncavas es cóncava, por lo que basta con mostrar que la función $$(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto a_ix_i^p$$ es cóncava para cada $i=1,\ldots,n$.