¿Cómo se pueden comparar las carteras de media-varianza-estiramiento-curiosidad obtenidas mediante la maximización de la utilidad esperada?

Question

Supongamos que tengo unas carteras que son el resultado de maximizar la utilidad esperada de diferentes aproximaciones de una función de utilidad, ¿cómo se prueban estas carteras fuera de muestra y cómo se comparan estos resultados?

Más concretamente, estoy tratando de comparar las carteras MV (media-varianza), MVS (media-varianza-estiramiento) y MVSK (media-varianza-estiramiento-curtosis) para un mismo conjunto de activos, basándome en la función de utilidad CARA. He maximizado estas tres ecuaciones y para cada una tengo una utilidad máxima esperada y la solución en forma de un conjunto de pesos. Así que ahora tengo tres carteras diferentes, y estas se basan en el mismo conjunto de muestra de 4 años (editar: 4 años de rendimientos diarios). ¿Puedo ahora probar estas carteras en un quinto año (un año fuera de la muestra, después del conjunto de muestra de cuatro años) y comparar algunas características? Si es así, ¿qué características debería comparar? ¿Puede comparar la utilidad alcanzada, o no es esta la intención correcta?

Edición: Algunas aclaraciones:

La aproximación de cuarto orden del valor esperado de la función de utilidad es la siguiente:

$E[U(W)] \approx U(\bar{W})+\frac{1}{2} U^{(2)}(\bar{W}) \sigma_{p}^{2}+\frac{1}{3 !} U^{(3)}(\bar{W}) s_{p}^{3}+\frac{1}{4 !} U^{(4)}(\bar{W}) \kappa_{p}^{4}$

donde $U(W)$ es la función de utilidad, $\bar{W}$ es la riqueza esperada, y $\sigma_{p}^{2}, s_{p}^{3}$ y $\kappa_{p}^{4}$ son la varianza, la asimetría y la curtosis de la cartera.

La función de utilidad que estoy utilizando es la función de utilidad CARA,

$U(W)=-\exp (-\gamma W)$ ,

donde $\gamma$ representa el coeficiente de aversión al riesgo constante.

El resultado es la siguiente ecuación,

$E[U(W)] \approx-\exp \left(-\gamma \mu_{p}\right)\left[1+\frac{\gamma^{2}}{2} \sigma_{p}+\frac{\gamma^{3}}{3 !} s_{p}^{3}+\frac{\gamma^{4}}{4 !} \kappa_{p}^{4}\right]$ ,

que es nuestra función objetivo a maximizar, en el caso de MVSK. Si consideramos MV, eliminamos los dos últimos términos del segundo operando de la última ecuación. En el caso de MVS, sólo eliminamos el último término.

Estos momentos están representados por $\begin{aligned} \mu_{p} &=\omega^{\prime} \mu \\ \sigma_{p}^{2} &=\omega^{\prime} \mathrm{M}_{2} \omega \\ s_{p}^{3} &=\omega^{\prime} \mathrm{M}_{3}(\omega \otimes \omega) \\ \kappa_{p}^{4} &=\omega^{\prime} \mathrm{M}_{4}(\omega \otimes \omega \otimes \omega) \end{aligned}$ donde $\mathrm{M}_{i}$ representa el tensor cumulante matricializado i, por lo que para $i = 2$ es la matriz de covarianza, para $i = 3$ el tensor de coscocidad matricializado y para $i = 4$ el tensor de cokurtosis matricializado. Con la matricización de un tensor, los cortes frontales del tensor se colocan lateralmente, por lo que para $i = n$ obtenemos un $n \times n^{(i-1)}$ matriz.

En cuanto a la optimización, puede resolverse utilizando múltiples intentos de SLSQP. Aunque no se garantiza un óptimo global, he comprobado que esto funciona bastante bien, ya que la mayoría de los intentos encuentran el mismo óptimo.

Ahora bien, encontremos o no un óptimo global para las optimizaciones MVS y MVSK, sigo sin entender cómo comparar mis carteras resultantes. Como mencionó Pontus Hultkrantz, la utilidad debería ser mi medida de rendimiento fuera de la muestra, pero ¿cómo puedo medir la utilidad realizada?

También debo señalar que los tensores de momento se están aproximando. Mi objetivo de investigación es demostrar que estas aproximaciones son lo suficientemente adecuadas para ser utilizadas en esta aplicación.

Gracias

Answer 1

Quiero añadir dos comentarios a esto.

1. Optimización empírica basada en la utilidad y los momentos

Yo diría que la comparación de diferentes grados de una optimización de la utilidad aproximada de Taylor (es decir, un modelo basado en momentos con dos, tres, cuatro, ..., infinitos momentos) añade supuestos adicionales a su modelo cuando se trabaja con un universo de activos cuyas estadísticas no están bajo su control, es decir, cuando se utilizan rendimientos de activos empíricos.

Con una optimización de la función de utilidad completa de la varianza media, no sólo se está identificando una cartera óptima (ex-post) de la varianza media bajo algunas suposiciones fuertes con respecto a la idiosincrasia de sus datos, sino también bajo el supuesto de que el universo de activos está bien representado por sus dos primeros momentos (por parejas). Sin embargo, esto se concilia restringiendo la función de utilidad para que también sea cuadrática. A medida que se empiezan a añadir momentos, se introducen supuestos implícitos adicionales sobre la existencia y la estabilidad de momentos superiores del proceso generador de datos (inobservable).

Permítanme expresarlo de otra manera: La realización de pruebas estadísticas sobre algunas carteras óptimas basadas en la utilidad podría reinterpretarse como una prueba conjunta (probablemente bastante débil) de los supuestos para su DGP, es decir, su media, varianza, sesgo, kurt, momentos superiores.

2. Comparación entre funciones de utilidad Digamos que ahora hemos identificado con éxito $N$ carteras óptimas basadas en la utilidad bajo $N$ diferentes funciones de utilidad, digamos cuadrática, cúbica, cuártica, ... A continuación, puedes analizar utilidad realizada (o los equivalentes de certeza), pero no se pueden comparar las utilidades realizadas entre las funciones de utilidad. Lo que sí se puede hacer es comparar las utilidades realizadas de una determinada función de utilidad, digamos cuadrática, entre las carteras y ver cuál es la que mejor funciona. El sitio web verdadero negocio es, por supuesto, introducir sus carteras estimadas en la función de utilidad completa y compararlas, pero tenga en cuenta mis comentarios en el apartado 1. anterior.

Answer 2

Si la utilidad es su medida de rendimiento, entonces seguirá siendo su medida de rendimiento fuera de la muestra, ya que es lo que le importa. Puedes ver la utilidad como una medida del equilibrio entre el beneficio y el riesgo, donde el riesgo es alguna combinación de varianza, sesgo, curtosis...

Su riqueza es una variable aleatoria $X$ que puede ser descrito por sus momentos. El primer momento está relacionado con la media, el segundo con la varianza, el tercero con el sesgo y el cuarto con la curtosis.

Si haces una expansión de Taylor de tu función de utilidad, y tomando la expectativa, verás que se puede escribir en términos de sus momentos. Así que la elección de la función de utilidad dicta cómo se ve el riesgo, ¿es sólo la varianza o también los momentos superiores?

En la media-varianza, el riesgo es la varianza, ya que el sesgo y la curtosis son nulos (hipótesis de distribución normal). Si la distribución no es normal, un sesgo muy negativo podría causarle pérdidas extremas, que querría evitar y, por tanto, incluir en su utilidad. Por lo tanto, en la Varianza-Media, se ignora cualquier momento superior al 2º, en la Varianza-Media-Curtosis se ignoran los momentos superiores al 3º, y en la Varianza-Media-Curtosis se ignoran los momentos superiores al 4º.

Editar : Por definición, la cartera que se encontró utilizando una función de coste que mejor se aproxima a su función de utilidad será, en la expectativa, la mejor.

Así que cuando evalúes tus carteras OOS, sólo tienes que introducir la riqueza final $\mathcal{U}(W_T) = -e^{\gamma W_T}$ (no hay necesidad de hacerlo "a la medida"). El problema es que ahora sólo se observa una única observación y, por tanto, un único valor de utilidad. Entonces, ¿cómo se puede estimar la utilidad esperada? Si te interesa la utilidad mensual, obviamente puedes dividir el 1Y en 12 meses y obtener 12 observaciones. Si no, puedes hacer algún tipo de remuestreo de los datos, ver por ejemplo dos procedimientos comunes de remuestreo Pero también tendría el mismo problema con las muestras finitas para su conjunto de datos de la muestra, así que no estoy seguro de cómo lo ha resuelto.