Gamma de los derivados de los tipos de interés

Question

Considerar un derivado de tipo de interés cuyo valor $V$ depende de $n$ tipos de interés $r_1, \dots, r_n$ . Por lo tanto, $V$ es una función en $n$ variables $V(r_1, \dots, r_n)$ . Mi pregunta se refiere a la gamma $\gamma$ de esta derivada con respecto a los desplazamientos paralelos.

¿Siempre se sostiene que $$\gamma(r_1, \dots, r_n) = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial^2 V}{\partial r_i^2}(r_1, \dots, r_n).$$

Para aclarar la notación: Defino el delta $\delta$ de la derivada con respecto a los desplazamientos paralelos como $$\delta(r_1, \dots, r_n) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{V(r_1 + h, \dots, r_n + h) - V(r_1, \dots, r_n)}{h},$$ y $\gamma$ se define entonces como $$\gamma(r_1, \dots, r_n) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\delta(r_1 + h, \dots, r_n + h) - \delta(r_1, \dots, r_n)}{h}.$$

Desde un punto de vista matemático, creo que la identidad no debería mantenerse en general, ya que las derivadas parciales mixtas (es decir $\frac{\partial^2 V}{\partial r_i r_j}$ ) también debería considerarse. También asumo que $V$ es una función suficientemente suave como para que todas las segundas derivadas parciales existan y sean continuas. Sin embargo, la literatura parece sugerir que la identidad se mantiene en general. ¿Qué opinan ustedes?

Answer 1

Tengo entendido que los términos de las derivadas parciales cruzadas tienen una contribución, por lo que tienes razón al decir que lo que realmente tienes que trabajar es una matriz gamma $$\gamma=[\frac{d^2V}{dr_idr_j}]_{i,j}.$$ En esencia, los términos parciales cruzados $\frac{d^2}{dr_idr_j}$ aluden a la correlación entre los distintos índices $(r_1,...,r_n)$ . Suponiendo una correlación alta (c. 90%), estos términos pueden ser generalmente ignorados. Por esta razón, la gamma calculada por su fórmula es una especie de gamma "local" en contraposición a una gamma "global" dada por toda la matriz. Para calcular esta gamma "global", los bancos suelen utilizar algún tipo de análisis de componentes principales (o alguna otra transformación lineal), ya que es una forma menos costosa de capturar la mayor parte de la varianza en la sensibilidad de la tasa sin tener que calcular toda la matriz.