Economía de dotación

Question

Consideremos una economía poblada por dos tipos de consumidores de vida infinita, pares e impares. Hay una masa de cada tipo de consumidor. Hay un único bien en la economía. La economía comienza en $t = 0$ . Los agentes impares tienen una secuencia de dotación $$e^0=\{3,1,3,1...\}$$ e incluso los agentes tienen $$e^0=\{1,3,1,3...\}$$ Las preferencias de ambos tipos de agentes están descritas por la función de utilidad $$U ( c ) =\sum\beta log\ c_t$$ .

Necesito calcular el precio y las asignaciones. Lo que he hecho hasta ahora:

$$\max\sum\beta log\ c_t \ s.t \sum p_tc_t^i=\sum p_te_t^i$$ y el mercado claro $c_t^1+c_t^2\leq e_t$

$$L=\sum\beta log\ c_t-\lambda^i(\sum p_tc_t^i-\sum p_te_t^i)$$ y conseguido los focos: $\frac{\beta^t}{c-t^i}=\lambda^ip_t$ . Adivinando que $p_t = \beta_t$ Consigo que las asignaciones de consumo de ambos agentes sean constantes. Las denoto por $c^1$ y $c^2$ . Utilizando esta información en las restricciones presupuestarias, encuentro: $$c^i\sum\beta^t=\sum p_te_t^i$$ . Aquí es donde estoy atascado. Sé que debemos utilizar la secuencia geométrica, pero no estoy seguro. Es $c^1=\frac{1}{1+\beta}?$

Answer 1

Demos por sentado que $\sum_t p_t e_t^i$ es finito.

Las condiciones de primer orden dan: $$ \frac{\beta^t}{c_t^i} = \lambda^i p_t $$ Esto da: $$ c_t^i = \frac{1}{\lambda^i}\frac{\beta^t}{p_t} \tag{1} $$ Si se stubstituye en la restricción presupuestaria, se obtiene: $$ \begin{align*} &\sum_t \frac{1}{\lambda^i} \beta^t = \sum_t p_t e_t^i,\\ \to &\frac{1}{\lambda^i} \sum_t \beta^t = \sum_t p_t e_t^i,\\ \to &\frac{1}{\lambda^i} \frac{\beta}{1 - \beta} = \sum_t p_t e_t^i,\\ \to &\frac{1}{\lambda^i} = \frac{(1-\beta)}{\beta}\sum_t p_t e_t^i. \end{align*} $$ Sustituyendo de nuevo en $(1)$ da para el período de tiempo $v$ : $$ c_v^i = \frac{(1-\beta)}{\beta} \frac{\beta^v}{p_v} \sum_t p_t e_t^i \tag{2} $$

Equilibrio en el mercado en cada periodo $v$ da: $$ \begin{align*} &c_v^1 + c_v^2 = 4,\\ \to &\frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{\beta^v}{p_v} \sum_t p_t (e_t^1 + e^t_2) = 4,\\ \to &\frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{\beta^v}{p_v} \sum_t p_t = 1 \end{align*} $$ Esto debe ser válido para cada $v$ Así que $p_v = \beta^v$ es una solución.

Entonces podemos calcular el consumo del individuo 1 en el periodo $v$ de la siguiente manera: $$ \begin{align*} c_v^1 &= \frac{(1-\beta)}{\beta}\sum_t p_t e_t^i,\\ &= \frac{(1-\beta)}{\beta}\left[\sum_{t \text{ odd}} \beta^t 3 + \sum_{t \text{ even}} \beta^t \right],\\ &= \frac{(1-\beta)}{\beta} \left[ \frac{3 \beta}{1 - \beta^2} + \frac{\beta^2}{1 - \beta^2}\right],\\ &= \frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{ 3 \beta + \beta^2}{1 - \beta^2},\\ &= \frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{(3 + \beta) \beta}{(1-\beta)(1+\beta)},\\ &= \frac{3 + \beta}{1 + \beta}. \end{align*} $$

Tenemos que $c_v^2$ será igual a $\dfrac{1 + 3 \beta}{1 + \beta}$ .